设O为坐标原点，直线x a= 与双曲线 C : x ^ 2…——2020 高考数学第 8 题答案解析

【详解】 $\because c : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$
$\therefore$ 双曲线的渐近线方程是 $y = \pm { \frac { b } { a } } x$
$\because$ 直线x a= 与双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = a } \\ { y = { \frac { b } { a } } x } \end{array} } \right.$ ，解得 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = a } \\ { y = b } \end{array} } \right.$
故 D a b( , )
联立 $\left\{ { { x = a \atop 3 } , \atop 3 } \right. \nonumber$ ，解得 $\left\{ { \begin{array} { l } { x = a } \\ { y = - b } \end{array} } \right.$
故 $E ( a , - b )$
$\therefore | E D | = 2 b$
$\therefore \triangle O D E$ 面积为： $S _ { \triangle O D E } = \frac { 1 } { 2 } a \times 2 b = a b = 8$
$\because$ 双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$
$\therefore$ 其焦距为 $2 c = 2 { \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } } \geq 2 { \sqrt { 2 a b } } = 2 { \sqrt { 1 6 } } = 8$
当且仅当 $a = b = 2 { \sqrt { 2 } }$ 取等号
\C的焦距的最小值：8

故选：B.

【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.