2015_新课标II卷
19．（12分）如图，长方体 $\mathsf { A B C D } - \mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { H }$ ，AB=16，BC=10， $\mathsf { A A } _ { 1 } { = } 8$ ，点E，F分别在 $\mathsf { A } _ { 1 } \mathsf { B } _ { 1 } , \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { C } _ { 1 }$ 上， $\mathsf { A } _ { 1 } E { = } \mathsf { D } _ { 1 } \mathsf { F } { = } 4$ ．过E，F的平面 ${ \bf { \dot { a } } } .$ 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）
（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论
【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离
【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；
（Ⅱ）求出 $\mathsf { M H } { = } \sqrt { \tt E H } ^ { 2 } { - } \tt E H ^ { 2 } { = } 6$ $\mathsf { A H } = \mathsf { 1 0 }$ $H B = 6$ ，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值
【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；
（Ⅱ）作 $\mathsf { E M } \bot \mathsf { A B }$ ，垂足为M，则 $A M = A _ { 1 } E = 4$ $\tt E B _ { 1 } = 1 2$ $E M = A A _ { 1 } = 8$
因为EFGH为正方形，所以 $\mathsf { E H } { = } \mathsf { E F } { = } \mathsf { B C } { = } 1 0$
于是 $\mathsf { M H } { = } \sqrt { \boldsymbol { \mathrm { E } } \boldsymbol { \mathrm { H } } ^ { 2 } - \boldsymbol { \mathrm { E } } \boldsymbol { \mathrm { H } } ^ { 2 } } { = } 6$ ，AH=10， $H B = 6$
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，
所以其体积的比值为 ${ \frac { 9 } { 7 } } .$
【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础