（5分）已知二面角 α-I-β 为 60^ , A B α…——2014 高考数学第 11 题答案解析

【考点】LM：异面直线及其所成的角．
【专题】5G：空间角．
【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案。

【解答】解：如图，过 A 点做 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{I}$ ，使 $\mathrm{BE} \perp \beta$ ，垂足为 E ，过点 A 做 $\mathrm{AF} \| \mathrm{CD}$ ，过点 E做 $E F \perp A E$ ，连接 $B F$ ，
∵ AE⟂I
$\therefore \angle \mathrm{EAC}=90^{\circ}$
$\because C D \| A F$
又 $\angle A C D=135^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{FAC}=45^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{EAF}=45^{\circ}$
在Rt $\triangle B E A$ 中，设 $A E=a$ ，则 $A B=2 a, B E=\sqrt{3} a$ ，
在Rt $\triangle A E F$ 中，则 $E F=a, A F=\sqrt{2} a$ ，
在Rt $\triangle B E F$ 中，则 $B F=2 a$ ，
∴ 异面直线 $A B$ 与 $C D$ 所成的角即是 $\angle B A F$ ，
$\therefore \cos \angle B A F=\frac{A B^{2}+A F^{2}-B F^{2}}{2 A B \cdot A F}=\frac{(2 a)^{2}+(\sqrt{2} a)^{2}-(2 a)^{2}}{2 \times 2 a \times \sqrt{2} a}=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
故选：B．

【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题。