2014_新课标I卷
8．（5分）设 ${ \mathfrak { a } } \in \ ( 0 , \ \frac { \pi } { 2 } )$ $\beta \in ( 0 , \ \frac { \pi } { 2 } )$ ，且 $\tan \alpha = \frac { 1 + \sin \beta } { \cos \beta }$ ，则（ ）A $3 a - \beta = \frac { \pi } { 2 }$ B $3 \alpha + \beta = \frac { \pi } { 2 }$ C $2 \alpha - \beta = \frac { \pi } { 2 }$ D $2 \alpha + \beta = \frac { \pi } { 2 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值
【专题】56：三角函数的求值
【分析】化切为弦，整理后得到 $\sin ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha$ ，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式 $\sin ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha$ ，则答案可求
【解答】解：由 $\tan \alpha = \frac { 1 + \sin \beta } { \cos \beta }$ ，得：
$$ \frac { \sin \alpha } { \cos \alpha } = \frac { 1 + \sin \beta } { \cos \beta } $$
即 $\mathsf { \iota } \mathsf { s i n a c o s } \mathsf { \beta } \mathsf { = c o s o s i n } \mathsf { \beta } \mathsf { + c o s a }$
$$ \sin ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha = \sin ( \frac { \pi } { 2 } - a ) $$
$\because a \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } )$ ，β∈（0， $\frac { \pi } { 2 } )$
∴当 $2 a - \beta = \frac { \pi } { 2 }$ 时， $\sin ( a - \beta ) = \sin ( \frac { \pi } { 2 } - a ) = \cos a$ 成立．
故选：C
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题