20．（12分）已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x-x+1$ ．
（I）若 $x f^{\prime}(x) \leq x^{2}+a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围；
（II）证明：$(x-1) f(x) \geq 0$ ．
（12分）已知函数 f(x)=(x+1) ln x-x+1…——2010 高考数学第 20 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
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【考点】63：导数的运算．
【专题】11：计算题．
【分析】（I）先根据导数公式求出导函数 $f^{\prime}(x)$ ，代入 $x f^{\prime}(x) \leq x^{2}+a x+1$ ，将 $a$分离出来，然后利用导数研究不等式另一侧的最值，从而求出参数 a 的取值范围；
（II）根据（I）可知 $g(x) \leq g(1)=-1$ 即 $\ln x-x+1 \leq 0$ ，然后讨论 $x$ 与 1 的大小，从而确定（ $x-1$ ）的符号，然后判定 $f(x)$ 与 0 的大小即可证得结论。
【解答】解：（ I ）$f^{\prime}(x)=\frac{x+1}{x}+\ln x-1=\ln x+\frac{1}{x}$ ，
$x f^{\prime}(x)=x \ln x+1$,
题设 $x f^{\prime}(x) \leq x^{2}+a x+1$ 等价于 $\ln x-x \leq a$ ．
令 $g(x)=\ln x-x$ ，则 $g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}-1$
当 $0<x<1, g^{\prime}(x)>0$ ；
当 $x \geq 1$ 时，$g^{\prime}(x) \leq 0, x=1$ 是 $g(x)$ 的最大值点，
$g(x) \leq g(1)=-1$
综上， a 的取值范围是 $[-1,+\infty)$ ．
（II）由（I）知，$g(x) \leq g(1)=-1$ 即 $\ln x-x+1 \leq 0$ ．
当 $0<x<1$ 时，$f(x)=(x+1) \ln x-x+1=x \ln x+(\ln x-x+1)<0$ ；
当 $x \geq 1$ 时，$f(x)=\ln x+(x \ln x-x+1)=\ln x+x\left(\ln x+\frac{1}{x}-1\right)=\ln x-x\left(\ln \frac{1}{x}-\frac{1}{x}+1\right) \geq 0$
所以 $(x-1) f(x) \geq 0$ ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用参数分离法求参数的取值范围，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．
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