2010 quanguo_old_i · 理 数学　·　真题与答案解析

1．（5分）复数 $\frac{3+2 \mathrm{i}}{2-3 \mathrm{i}}=$

2．（5分）记 $\cos \left(-80^{\circ}\right)=\mathrm{k}$ ，那么 $\tan 100^{\circ}=$

3．（5分）若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 1 \\ x+y \geqslant 0 \\ x-y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-2 y$ 的最大值为

4．（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

5．（5分）$(1+2 \sqrt{x})^{3}(1-\sqrt[3]{x})^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数是（ ）

6．（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

7．（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

8．（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\ln 2, c=5^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

9．（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 P 到 x 轴的距离为（ ）

10．（5分）已知函数 $f(x)=|\lg x|$ ，若 $0<a<b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，则 $a+2 b$ 的取值范围是（）

11．（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

12．（5分）已知在半径为 2 的球面上有 $A , B , C , D$ 四点，若 $A B=C D=2$ ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）

13．（5分）不等式 $\sqrt{2 x^{2}+1}-x \leqslant 1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ［0，2］。

14．（5分）已知 $\alpha$ 为第三象限的角， $\cos 2 \alpha=-\frac{3}{5}$ ，则 $\tan \left(\frac{\pi}{4}+2 \alpha\right)=-\frac{1}{7}$－

15．（5分）直线 $y=1$ 与曲线 $y=x^{2}-|x|+a$ 有四个交点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （1， $\frac{5}{4}$

16．（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

17．（10分）已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ ，$B$ 及其对边 $a$ ，$b$ 满足 $a+b=a \cot A+b \cot B$ ，求内角C．

18．（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审． （I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率； （II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

19．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，$S D \perp$ 底面 $A B C D, A B \| D C, A D \perp D C, A B= \mathrm{AD}=1, \mathrm{DC}=\mathrm{SD}=2, \mathrm{E}$ 为棱 SB 上的一点，平面 $\mathrm{EDC} \perp$ 平面 SBC ． （ I ）证明：SE＝2EB； （II）求二面角A－DE－C的大小。 

20．（12分）已知函数 $f(x)=(x+1) \ln x-x+1$ ． （I）若 $x f^{\prime}(x) \leq x^{2}+a x+1$ ，求 $a$ 的取值范围； （II）证明：$(x-1) f(x) \geq 0$ ．

21．（12分）已知抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A , B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$ ． （ I ）证明：点 F 在直线 BD 上； （II）设 $\overrightarrow{F A} \cdot \overrightarrow{F B}=\frac{8}{9}$ ，求 $\triangle B D K$ 的内切圆 $M$ 的方程．

22．（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ． （I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式； （II）求使不等式 $a_{n}<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．