2010 全国 I 卷（旧） · 理 数学

（5分）复数 $\frac{3+2 \mathrm{i}}{2-3 \mathrm{i}}=$

（5分）记 $\cos \left(-80^{\circ}\right)=\mathrm{k}$ ，那么 $\tan 100^{\circ}=$

（5分）若变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leqslant 1 \\ x+y \geqslant 0 \\ x-y-2 \leqslant 0\end{array}\right.$ ，则 $z=x-2 y$ 的最大值为

（5分）已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}, ~ a_{1} a_{2} a_{3}=5, ~ a_{7} a_{8} a_{9}=10$ ，则 $a_{4} a_{5} a_{6}=$

（5分）$(1+2 \sqrt{x})^{3}(1-\sqrt[3]{x})^{5}$ 的展开式中 $x$ 的系数是（ ）

（5分）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）

（5分）正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，$B B_{1}$ 与平面 $A C D_{1}$ 所成角的余弦值为（

（5分）设 $a=\log _{3} 2, b=\ln 2, c=5^{-\frac{1}{2}}$ ，则（）

（5分）已知 $F_{1} , F_{2}$ 为双曲线 $C: x^{2}-y^{2}=1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上，$\angle F_{1} P F_{2}=6 0^{\circ}$ ，则 P 到 x 轴的距离为（ ）

（5分）已知函数 $f(x)=|\lg x|$ ，若 $0<a<b$ ，且 $f(a)=f(b)$ ，则 $a+2 b$ 的取值范围是（）

（5分）已知圆 O 的半径为 $1, \mathrm{PA} , \mathrm{~PB}$ 为该圆的两条切线， $\mathrm{A} , \mathrm{~B}$ 为两切点，那么 $\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$ 的最小值为（）

（5分）已知在半径为 2 的球面上有 $A , B , C , D$ 四点，若 $A B=C D=2$ ，则四面体 ABCD 的体积的最大值为（）

（5分）不等式 $\sqrt{2 x^{2}+1}-x \leqslant 1$ 的解集是 $\_\_\_\_$ ［0，2］。

（5分）直线 $y=1$ 与曲线 $y=x^{2}-|x|+a$ 有四个交点，则 $a$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ （1， $\frac{5}{4}$

（5分）已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交 C 于点 D ，且 $\overrightarrow{\mathrm{BF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{FD}}$ ，则 C 的离心率为 $\_\_\_\_$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

（12分）投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审。若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用。设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5 ，复审的稿件能通过评审的概率为 0.3 ．各专家独立评审．
（I）求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；
（II）求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．

（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，$AB=$
$AD=1$，$DC=SD=2$，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC．
（Ⅰ）证明：$SE=2EB$；
（Ⅱ）求二面角A﹣DE﹣C的大小．

（12分）已知函数f（x）=（x+1）lnx﹣x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x2+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x﹣1）f（x）≥0．

（12分）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中，$a_{1}=1, a_{n+1}=c-\frac{1}{a_{n}}$ ．
（I）设 $\mathrm{c}=\frac{5}{2}, \mathrm{~b}_{\mathrm{n}}=\frac{1}{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-2}$ ，求数列 $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式；
（II）求使不等式 $a_{n}<a_{n+1}<3$ 成立的 $c$ 的取值范围．