（12分）四棱锥 A ^ ~ - ~ B C D E 中，…——2008 高考数学第 18 题答案解析

【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法

【专题】5F：空间位置关系与距离

【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的

（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知， ${ \mathsf { C E \bot A D } }$ ，则 $\angle C G E$ 即为所求二面角的平面角， $\triangle C G E$ 中，使用余弦定理求出此角的大小

【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，

∵AB=AC，∴AF⊥BC

又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE

再根据 $\tan \angle C E D = \tan \angle F D C = \frac { \sqrt { 2 } } { 2 }$ ，可得 $\angle C E D = \angle F D C$

又 $\angle C D E = 9 0 ^ { \circ } , \therefore \angle O E D + \angle O D E = 9 0 ^ { \circ }$

$\therefore \angle D O E = 9 0 ^ { \circ }$ ，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD

（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G

∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，

则∠CGE即为所求二面角的平面角

作CH⊥AB，H为垂足

∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，

故 $\mathtt { B E \bot C H }$ ，而 $A B \cap B E = B$ ，故CH⊥平面ABE，

$\therefore \angle C E H = 4 5 ^ { \circ }$ 为CE与平面ABE所成的角

$\because C E = { \sqrt { 6 } }$ ，∴CH=EH=

直角三角形CBH中，利用勾股定理求得 $B H = \sqrt { C B ^ { 2 } - C H ^ { 2 } } = \sqrt { 4 - 3 } = 1$ ，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；

直角三角形ACH中，由勾股定理求得 $A C ^ { 2 } = C H ^ { 2 } + A H ^ { 2 } = 3 + ~ ( A C - 1 ) ^ { 2 } , \therefore A B = A C = 2$

由面ABC⊥面BCDE，矩形 $\mathtt { B C D E 4 H C D \bot C B }$ ，可得CD⊥面ABC，

故 $\triangle \mathsf { A C D }$ 为直角三角形， $A D = \sqrt { A C ^ { 2 } + C D ^ { 2 } } = \sqrt { 4 + 2 } = \sqrt { 6 }$

$$ \mathrm { \cdot } C G = \frac { A C \bullet C D } { A D } = \frac { 2 \bullet \sqrt { 2 } } { \sqrt { 6 } } = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 3 } , D G = \sqrt { C D ^ { 2 } - C G ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 6 } } { 3 } , $$

$E G = \sqrt { D E ^ { 2 } - D G ^ { 2 } } = \frac { \sqrt { 3 0 } } { 3 }$ ，又 ${ \mathrm { C E } } { = } { \sqrt { 6 } } ,$

$$ \cos \angle C G E = \frac { C G ^ { 2 } + G E ^ { 2 } - C E ^ { 2 } } { 2 C G ^ { \circ } G E } = \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } , $$

$$ \therefore \angle C G E = \pi - \mathtt { a r c c o s } ( \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } ) $$

即二面角C﹣AD﹣E的大小 $\pi - \tt { a r c c o s } ( \frac { \sqrt { 1 0 } } { 1 0 } )$

【点评】本题主要考查通过证明线面垂直来证明线线垂直的方法，以及求二面角的大小的方法，属于中档题