2011_浙江卷 (2011·理)
18、（2011•浙江）在 $\triangle A B C$ 中，角 $A, B, C$ ，所对的边分别为 $a, b, c$ ．已知 $\sin A+\sin C=p \sin B ~(p \in R)$ 。且 $a c=\frac{1}{4} b^{2}$ 。
（I）当 $\mathrm{p}=\frac{5}{4}, \mathrm{~b}=1$ 时，求 $\mathrm{a}, \mathrm{c}$ 的值；
（II）若角 B 为锐角，求 p 的取值范围．
考点：解三角形。
专题：计算题。
分析：（I）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，解方程组求得 a 和 c 的值。
（II）先利用余弦定理求得 $a, b$ 和 $c$ 的关系，把题设等式代入表示出 $p^{2}$ ，进而利用 $\cos B$ 的范围确定 $p^{2}$ 的范围，进而确定 pd 范围。
解答：（I）解：由题设并利用正弦定理得 $\left\{\begin{array}{l}a+c=\frac{5}{4} \\ a c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$
故可知 $a, c$ 为方程 $x^{2}-\frac{5}{4} x+\frac{1}{4}=0$ 的两根，
进而求得 $a=1, c=\frac{1}{4}$ 或 $a=\frac{1}{4}, b=1$
（II）解：由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=(a+c)^{2}-2 a c-2 a c \cos B=p^{2} b^{2}-\frac{1}{2} b^{2} \cos B-\frac{1}{2} b^{2}$ ，
即 $\mathrm{p}^{2}=\frac{3}{2}+\frac{1}{2} \cos \mathrm{~B}$ ，
因为 $0<\cos \mathrm{B}<1$ ，
所以 $\mathrm{p}^{2} \in\left(\frac{3}{2}, 2\right)$ ，由题设知 $\mathrm{p}>0$ ，所以 $\frac{\sqrt{6}}{2}<\mathrm{p}<\sqrt{2}$
点评：本题主要考查了解三角形问题。学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用。