2026_新课标 II 卷
16．三棱锥 $A-B C D$ 中，$E$ 在 $B D$ 上，$A E \perp C E, A E \perp D E, C D \perp A D$ ．
（1） 证明：$C D \perp A B$ ；
（2） 若 $D E=2, B E=1, A E=\sqrt{2}, C D=2 \sqrt{3}$ ，求 $A D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值．
√6/3
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
（1）证明：因为AE⊥CE，AE⊥DE，CE与DE交于E且都在平面BCD内，所以AE⊥平面BCD，可得AE⊥CD。又已知CD⊥AD，AE与AD交于A且都在平面ABD内，所以CD⊥平面ABD，AB在平面ABD内，因此CD⊥AB。（2）解：以E为原点，BD为x轴，过E垂直BD的直线为y轴，AE为z轴建立空间直角坐标系，得各点坐标：E(0,0,0)，A(0,0,√2)，B(-1,0,0)，D(2,0,0)。设C(x,y,0)，由CD⊥AD，向量$AD=(2,0,-$√2)、向量$CD=(2-x,-y,0)$的点积为$2(2-x)=0$，得$x=2$；再由$CD=2$√3，得y²=12，取$y=2$√3，即C(2,2√3,0)。求平面ABC的法向量n：向量$AB=(-1,0,-$√2)，向量$AC=(2,2$√3,-√2)，令法向量n的z分量为√2，解得$n=(-2,$√3,√2)。线面角θ的正弦值等于直线AD方向向量与法向量n夹角余弦的绝对值，计算得sinθ=|AD·n|/(|AD|·|$n|)=| -4 -2 |/($√$6 * 3)=6/(3$√$6)=$√6/3。