已知椭圆 x ^ 2 9 + y ^ 2 5 = 1 的左…——2019 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $\sqrt { 1 5 }$

【解析】

【分析】

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

**方法一**：由题意可知 $\scriptstyle | O F | = | O M | = c = 2$

由中位线定理可得 $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 \left| O M \right| = 4$ ，设 $P ( x , y )$ 可得 $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 6$

联立方程 $\frac { x ^ { 2 } } { 9 } + \frac { y ^ { 2 } } { 5 } = 1$

可解得 $x = - { \frac { 3 } { 2 } } , x = { \frac { 2 1 } { 2 } }$ （舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，

求得 $P \left( - { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } \right)$ ，所以 $k _ { _ { P F } } = \frac { \displaystyle \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { 1 5 }$

**方法二**：焦半径公式应用

解析1：由题意可知 $\scriptstyle | O F | = | O M | = c = 2$

由中位线定理可得 $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 \left| O M \right| = 4$ ，即 $a - e x _ { p } = 4 \Rightarrow x _ { p } = - \frac 3 2$

求得 $P \left( - { \frac { 3 } { 2 } } , { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } \right)$ ，所以 $k _ { _ { P F } } = \frac { \displaystyle \frac { \sqrt { 1 5 } } { 2 } } { \displaystyle \frac { 1 } { 2 } } = \sqrt { 1 5 }$

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.