2011 全国高考数学 2011_退役省自主命题 (2011·文) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（本小题满分 12 分）
叙述并证明余弦定理。

Accepted Answer

【分析】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固。 【解】叙述： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。或：在 $	riangle A B C$ 中，$a, b, c$ 为 $A, B$ ，$C$ 的对边，有 $$ \begin{aligned} & a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \ & b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B \ & c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C \end{aligned} $$ 证明：（证法一）如图，$c^{2}=\overrightarrow{B C}=(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}) \bullet(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})$ $$ \begin{aligned} & =\overrightarrow{A C}^{2}-2 \overrightarrow{A C} \bullet \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}^{2}=\overrightarrow{A C}^{2}-2|\overrightarrow{A C}| \bullet|\overrightarrow{A B}| \cos A+\overrightarrow{A B}^{2} \ & =b^{2}-2 b c \cos A+c^{2} \end{aligned} $$ 即 $$ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A $$ 同理可证 ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/80941ec0-ef81-4f48-b080-65c259fda111-09.jpg?height=255&width=570&top_left_y=1612&top_left_x=1356) $$ \begin{aligned} & b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 c a \cos B, \ c^{2}= & a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C \end{aligned} $$ ## （证法二） 已知 $	riangle A B C$ 中，$A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$, ，以 $A$ 为原点，$A B$ 所在直线为 $x$ 轴建立直 角坐标系，则 $C(b \cos A, b \sin A), B(c, 0)$ ， $	herefore a^{2}=|B C|^{2}=(b \cos A-c)^{2}+(b \sin A)^{2…

2011 高考数学第 17 题答案解析

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