如图，在三棱锥 P - A B C 中， P A 平面AB…——2023 高考数学第 16 题答案解析

（1）因为 $PA \perp$ 平面 $ABC$，且 $BC \subset$ 平面 $ABC$，所以 $PA \perp BC$。
在 Rt$\triangle PAB$ 中，由 $PA=AB=1$，得 $PB = \sqrt{PA^2 + AB^2} = \sqrt{2}$。
在 $\triangle PBC$ 中，因为 $PB^2 + BC^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3$，且 $PC^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$，
所以 $PB^2 + BC^2 = PC^2$，故 $BC \perp PB$。
又因为 $PA \cap PB = P$，$PA, PB \subset$ 平面 $PAB$，
所以 $BC \perp$ 平面 $PAB$。

（2）由（1）知 $BC \perp$ 平面 $PAB$，而 $AB \subset$ 平面 $PAB$，所以 $BC \perp AB$。
如图，以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}$、过点 $A$ 且平行于 $\overrightarrow{BC}$ 的向量、$\overrightarrow{AP}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $A-xyz$。
则 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$C(1,1,0)$，$P(0,0,1)$。
所以 $\overrightarrow{AC} = (1,1,0)$，$\overrightarrow{AP} = (0,0,1)$，$\overrightarrow{BC} = (0,1,0)$，$\overrightarrow{PC} = (1,1,-1)$。

设平面 $PAC$ 的法向量为 $\vec{m} = (x_1, y_1, z_1)$，
由 $\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{AP} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} z_1 = 0 \\ x_1 + y_1 = 0 \end{cases}$。
令 $x_1 = 1$，则 $y_1 = -1$，所以 $\vec{m} = (1, -1, 0)$。

设平面 $PBC$ 的法向量为 $\vec{n} = (x_2, y_2, z_2)$，
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{PC} = 0 \end{cases}$，得 $\begin{cases} y_2 = 0 \\ x_2 + y_2 - z_2 = 0 \end{cases}$。
令 $x_2 = 1$，则 $z_2 = 1$，所以 $\vec{n} = (1, 0, 1)$。

设二面角 $A-PC-B$ 的大小为 $\theta$，由图可知 $\theta$ 为锐角，
则 $\cos \theta = |\cos \langle \vec{m}, \vec{n} \rangle| = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1 \times 1 + (-1) \times 0 + 0 \times 1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$。
所以 $\theta = \frac{\pi}{3}$，即二面角 $A-PC-B$ 的大小为 $\frac{\pi}{3}$。