如图，在三棱锥 P - A B C 中， P A 平面AB…——2023 高考数学第 16 题答案解析

【答案】（1）证明见解析

> ② $\frac { \pi } { 3 }$

【解析】

【分析】（1）先由线面垂直的性质证得 $P A \perp B C$ ，再利用勾股定理证得 $B C \perp P B$ ，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解

【小问1详解】

因为 $P A \perp$ 平面 $A B C , B C \subset$ 平面 $A B C$

所以 $P A \perp B C$ ，同理 $P A \bot A B$

所以 $\triangle P A B$ 为直角三角形，

又因为 $P B = \sqrt { P A ^ { 2 } + A B ^ { 2 } } = \sqrt { 2 } \ , B C = 1 , P C = \sqrt { 3 }$

所以 $P B ^ { 2 } + B C ^ { 2 } = P C ^ { 2 }$ ，则VPBC为直角三角形，故 $B C \perp P B$

又因为 $B C \perp P A , P A \bigcap P B = P$

所以 $B C \perp$ 平面PAB.

【小问 2 详解】

由（1）BC ^平面PAB，又 $A B \subset$ 平面PAB，则 $B C \perp A B$

以A为原点，AB 为x轴，过A且与BC平行的直线为^y 轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则 $A ( 0 , 0 , 0 ) , P ( 0 , 0 , 1 ) , C ( 1 , 1 , 0 ) , B ( 1 , 0 , 0 )$

所以 $\overrightarrow { A P } = ( 0 , 0 , 1 ) , \overrightarrow { A C } = ( 1 , 1 , 0 ) , \overrightarrow { B C } = ( 0 , 1 , 0 ) , \overrightarrow { P C } = ( 1 , 1 , - 1 )$

设平面PAC 的法向量为 $\overrightarrow { m } = \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right)$ ，则 $\left\{ { \begin{array} { l } { m \cdot { \overrightarrow { A P } } = 0 } \\ { m \cdot { \overrightarrow { A C } } = 0 } \end{array} } \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l l } { z _ { 1 } = 0 , } \\ { x _ { 1 } + y _ { 1 } = 0 } \end{array} \right.$ 2

令 $x _ { 1 } = 1$ ，则 $y _ { 1 } = - 1$ ，所以 $\stackrel { \longrightarrow } { m } = ( 1 , - 1 , 0 )$

设平面PBC 的法向量为 $\stackrel { } { n } = ( x _ { 2 } , y _ { 2 } , z _ { 2 } )$ ，则 $\left\{ { \begin{array} { l } { n \cdot { \overrightarrow { B C } } = 0 } \\ { n \cdot { \overrightarrow { P C } } = 0 } \end{array} } \right.$ ，即 $\left\{ \begin{array} { l l } { y _ { 2 } = 0 } \\ { x _ { 2 } + y _ { 2 } - z _ { 2 } = 0 } \end{array} \right.$

令 $x _ { 2 } = 1$ ，则 $z _ { 2 } = 1$ ，所以 $\stackrel { } { n } = ( 1 , 0 , 1 )$

所以 $\cos \left. { \vec { m } } , { \vec { n } } \right. = { \frac { { \vec { m } } \cdot { \vec { n } } } { \left| { \vec { m } } \right| \left| { \vec { n } } \right| } } = { \frac { 1 } { { \sqrt { 2 } } \times { \sqrt { 2 } } } } = { \frac { 1 } { 2 } }$

又因为二面角 $A - P C - B$ 为锐二面角，

所以二面角A PC B- - 的大小为 $\frac { \pi } { 3 }$ .