2010 全国高考数学 2010_旧全国 I 卷 (2010·理) 第 17 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

17．（10分）已知 $	riangle A B C$ 的内角 $A$ ，$B$ 及其对边 $a$ ，$b$ 满足 $a+b=a \cot A+b \cot B$ ，求内角C．

Accepted Answer

【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理． 【专题】11：计算题． 【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 $\sin$（A $\left.-\frac{\pi}{4}ight)=\sin \left(B+\frac{3 \pi}{4}ight)$ ，进而根据 $A, B$ 的范围，求得 $A-\frac{\pi}{4}$ 和 $B+\frac{3 \pi}{4}$ 的关系 ，进而求得 $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{2}$ ，则 C 的值可求。 【解答】解：由已知及正弦定理，有 $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}=\sin \mathrm{A} \cdot \frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}+\sin \mathrm{B} \cdot \frac{\cos \mathrm{B}}{\sin \mathrm{B}}=\cos \mathrm{A}+\cos$ B， $	herefore \sin A-\cos A=\cos B-\sin B$ $	herefore \sin \left(A-\frac{\pi}{4}ight)=\sin \left(B+\frac{3 \pi}{4}ight)$ ， $\because 0<A<\pi, \quad 0<B<\pi$ $	herefore-\frac{\pi}{4}<\mathrm{A}-\frac{\pi}{4}<\frac{3 \pi}{4}<\mathrm{B}+\frac{3 \pi}{4}<\frac{7 \pi}{4}$ $	herefore \mathrm{A}-\frac{\pi}{4}+\mathrm{B}+\frac{3 \pi}{4}=\pi$ ， $	herefore A+B=\frac{\pi}{2}, C=\pi-(A+B)=\frac{\pi}{2}$ 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用。解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．

2010 高考数学第 17 题答案解析

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