17．（10分）已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A$ ，$B$ 及其对边 $a$ ，$b$ 满足 $a+b=a \cot A+b \cot B$ ，求内角C．
（10分）已知 A B C 的内角 A， B 及其对边 a…——2010 高考数学第 17 题答案解析
2010_旧全国 I 卷 (2010·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；HP：正弦定理．
【专题】11：计算题．
【分析】先利用正弦定理题设等式中的边转化角的正弦，化简整理求得 $\sin$（A
$\left.-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(B+\frac{3 \pi}{4}\right)$ ，进而根据 $A, B$ 的范围，求得 $A-\frac{\pi}{4}$ 和 $B+\frac{3 \pi}{4}$ 的关系 ，进而求得 $\mathrm{A}+\mathrm{B}=\frac{\pi}{2}$ ，则 C 的值可求。
【解答】解：由已知及正弦定理，有 $\sin \mathrm{A}+\sin \mathrm{B}=\sin \mathrm{A} \cdot \frac{\cos \mathrm{A}}{\sin \mathrm{A}}+\sin \mathrm{B} \cdot \frac{\cos \mathrm{B}}{\sin \mathrm{B}}=\cos \mathrm{A}+\cos$ B，
$\therefore \sin A-\cos A=\cos B-\sin B$
$\therefore \sin \left(A-\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(B+\frac{3 \pi}{4}\right)$ ，
$\because 0
$\therefore \mathrm{A}-\frac{\pi}{4}+\mathrm{B}+\frac{3 \pi}{4}=\pi$ ，
$\therefore A+B=\frac{\pi}{2}, C=\pi-(A+B)=\frac{\pi}{2}$
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用。解题过程中关键是利用了正弦定理把边的问题转化为角的问题．
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