2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) 第 18 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

18．（12分）在 $	riangle A B C$ 中，内角 $A 、 B 、 C$ 的对边长分别为 $a 、 b 、 c$ ，已知 $a^{2}-c^{2}=2$ b，且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，求b．

Accepted Answer

【考点】HR：余弦定理． 【分析】根据正弦定理和余弦定理将 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}=3 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ 化成边的关系，再根据 $a^{2}-c^{2}=2 b$ 即可得到答案。 【解答】解：法一：在 $	riangle A B C$ 中 ∵ $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ， 则由正弦定理及余弦定理有： $a \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=3 \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \cdot c$, 化简并整理得： $2\left(a^{2}-c^{2}ight)=b^{2}$ ． 又由已知 $a^{2}-c^{2}=2 b 	herefore 4 b=b^{2}$ ． 解得 $b=4$ 或 $b=0$（舍）； 法二：由余弦定理得：$a^{2}-c^{2}=b^{2}-2 b c \cos A$ ． 又 $a^{2}-c^{2}=2 b, ~ b 
eq 0$ ． 所以 $\mathrm{b}=2 \mathrm{c} \cos \mathrm{A}+2(1)$ 又 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}=3 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ， $	herefore \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{Csin}(\mathrm{A}+\mathrm{C})=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ， 即 $\sin \mathrm{B}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ 由正弦定理得 $\sin \mathrm{B}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} \sin \mathrm{C}$ ， 故 $\mathrm{b}=4 \cos \mathrm{~A}$②由（1），②解得 $\mathrm{b}=4$ ． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．

2009 高考数学第 18 题答案解析

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