18．（12分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A , B , C$ 的对边长分别为 $a , b , c$ ，已知 $a^{2}-c^{2}=2$ b，且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，求b．
（12分）在 A B C 中，内角 A、 B、 C 的对边…——2009 高考数学第 18 题答案解析
2009_旧全国 I 卷 (2009·文)
完整解析 · 逐步详解
【考点】HR：余弦定理．
【分析】根据正弦定理和余弦定理将 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}=3 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ 化成边的关系，再根据 $a^{2}-c^{2}=2 b$ 即可得到答案。
【解答】解：法一：在 $\triangle A B C$ 中 ∵ $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，
则由正弦定理及余弦定理有：
$a \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=3 \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \cdot c$,
化简并整理得： $2\left(a^{2}-c^{2}\right)=b^{2}$ ．
又由已知 $a^{2}-c^{2}=2 b \therefore 4 b=b^{2}$ ．
解得 $b=4$ 或 $b=0$（舍）；
法二：由余弦定理得：$a^{2}-c^{2}=b^{2}-2 b c \cos A$ ．
又 $a^{2}-c^{2}=2 b, ~ b \neq 0$ ．
所以 $\mathrm{b}=2 \mathrm{c} \cos \mathrm{A}+2(1)$ 又 $\sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}=3 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ，
$\therefore \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{C}+\cos \mathrm{A} \sin \mathrm{C}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{Csin}(\mathrm{A}+\mathrm{C})=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ ，
即 $\sin \mathrm{B}=4 \cos \mathrm{~A} \sin \mathrm{C}$ 由正弦定理得 $\sin \mathrm{B}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}} \sin \mathrm{C}$ ，
故 $\mathrm{b}=4 \cos \mathrm{~A}$②由（1），②解得 $\mathrm{b}=4$ ．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．
✅ 来源：2009年 · 全国 · 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) · 第 18 题 · 本题已通过人工审核与系统自动校验