2009 quanguo_old_i · 文 数学　·　真题与答案解析

1．（5分） $\sin 585^{\circ}$ 的值为

2．（5分）设集合 $A=\{4,5,7,9\}, B=\{3,4,7,8,9\}$ ，全集 $U=A \cup B$ ，则集合 $C_{U}(A \cap B)$ 中的元素共有

3．（5分）不等式 $\left|\frac{x+1}{x-1}\right|<1$ 的解集为

4．（5分）已知 $\tan \mathrm{a}=4, \cot \beta=\frac{1}{3}$ ，则 $\tan (\mathrm{a}+\beta)=(\quad)$

5．（5分）已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的渐近线与抛物线 $y=x^{2}+1$ 相切 ，则该双曲线的离心率为（ ）

6．（5分）已知函数 $f(x)$ 的反函数为 $g(x)=1+2 \lg x(x>0)$ ，则 $f(1)+g(1$ ）＝

7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有

8．（5分）设非零向量 $\vec{a} , \vec{b} , \vec{c}$ 满足 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|, \vec{a}+\vec{b}=\vec{c}$ ，则 {{QUESTIONS_HTML}}lt;\vec{a}, \vec{b}>=$（ ）

9．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角的余弦值为（） 

10．（5分）如果函数 $y=3 \cos (2 x+\phi)$ 的图象关于点 $\left(\frac{4 \pi}{3}, 0\right)$ 中心对称，那么 $|\phi|$ 的最小值为（ ）

11．（5分）已知二面角 $\alpha-I-\beta$ 为 $60^{\circ}$ ，动点 $P , Q$ 分别在面 $\alpha , \beta$ 内，$P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}$ ， Q 到 $\alpha$ 的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，则 $\mathrm{P} , \mathrm{Q}$ 两点之间距离的最小值为（） 

12．（5分）已知椭圆 C ：$\frac{\mathrm{x}^{2}}{2}+\mathrm{y}^{2}=1$ 的右焦点为 F ，右准线为 I ，点 $\mathrm{A} \in \mathrm{I}$ ，线段 AF 交 C于点 B ，若 $\overrightarrow{\mathrm{FA}}=3 \overrightarrow{\mathrm{FB}}$ ，则 $|\overrightarrow{\mathrm{AF}}|=$（ ）

13．（5分）$(x-y)^{10}$ 的展开式中，$x^{7} y^{3}$ 的系数与 $x^{3} y^{7}$ 的系数之和等于 $\_\_\_\_$ － 240

14．（5分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 的和为 $S_{n}$ ，若 $S_{9}=72$ ，则 $a_{2}+a_{4}+a_{9}=$ $\_\_\_\_$ 24 ．

15．（5分）已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径，过 $O A$ 的中点 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$ ．若圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$ ，则球 $O$ 的表面积等于 $\_\_\_\_$ $16 \pi$ ． 

16．（5分）若直线 $m$ 被两平行线 $I_{1}: x-y+1=0$ 与 $I_{2}: x-y+3=0$ 所截得的线段的长为 $2 \sqrt{2}$ ，则 $m$ 的倾斜角可以是① $15^{\circ}$② $30^{\circ}$③ $45^{\circ}$④ $60^{\circ}$（5） $75^{\circ}$ 其中正确答案的序号是 $\_\_\_\_$ ①或⑤ （写出所有正确答案的序号）

17．（10分）设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，公比是正数的等比数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$项和为 $\mathrm{T}_{\mathrm{n}}$ ，已知 $\mathrm{a}_{1}=1, \mathrm{~b}_{1}=3, \mathrm{a}_{3}+\mathrm{b}_{3}=17, \mathrm{~T}_{3}-\mathrm{S}_{3}=12$ ，求 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\},\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式

18．（12分）在 $\triangle A B C$ 中，内角 $A , B , C$ 的对边长分别为 $a , b , c$ ，已知 $a^{2}-c^{2}=2$ b，且 $\sin A \cos C=3 \cos A \sin C$ ，求b．

19．（12分）如图，四棱锥 $S-A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形，$S D \perp$ 底面 $A B C D, A D =\sqrt{2}, D C=S D=2$ ，点 $M$ 在侧棱 $S C$ 上，$\angle A B M=60^{\circ}$ （I）证明：$M$ 是侧棱 $S C$ 的中点； （II）求二面角 $S$－$A M$－B的大小。 

20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为 0.6 ，乙获胜的概率为 0.4 ，各局比赛结果相互独立．已知前 2 局中，甲、乙各胜 1 局． （I）求再赛 2 局结束这次比赛的概率； （II）求甲获得这次比赛胜利的概率．

21．（12分）已知函数 $f(x)=x^{4}-3 x^{2}+6$ ． （I）讨论 $f(x)$ 的单调性； （II）设点 P 在曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 上，若该曲线在点 P 处的切线 I 通过坐标原点，求 I 的方程。

22．（12分）如图，已知抛物线 $\mathrm{E}: \mathrm{y}^{2}=\mathrm{x}$ 与圆 $\mathrm{M}:(\mathrm{x}-4)^{2}+\mathrm{y}^{2}=\mathrm{r}^{2}(\mathrm{r}>0)$ 相交于A、B、C、D四个点． （I）求 $r$ 的取值范围； （II）当四边形 $A B C D$ 的面积最大时，求对角线 $A C , B D$ 的交点 $P$ 的坐标．