若 a, b R，对 x [-2,2]，均有 (2 a+b…——2025 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
若 $a, b \in \mathrm{R}$ ，对 $\forall x \in[-2,2]$ ，均有 $(2 a+b) x^{2}+b x-a-1 \leq 0$ 恒成立，则 $2 a+b$ 的最小值为 $\_\_\_\_$
【答案】－4
【解析】

【分析】先设 $t=2 a+b$ ，根据不等式的形式，为了消 $a$ 可以取 $x=-\frac{1}{2}$ ，得到 $t \geq-4$ ，验证 $t=-4$ 时，$a, b$是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案。

【详解】设 $t=2 a+b$ ，原题转化为求 $t$ 的最小值，
原不等式可化为对任意的 $-2 \leq x \leq 2, t x^{2}+(t-2 a) x-a-1 \leq 0$ ，
不妨代入 $x=-\frac{1}{2}$ ，得 $\frac{1}{4} t-\frac{1}{2}(t-2 a)-a-1 \leq 0$ ，得 $t \geq-4$ ，
当 $t=-4$ 时，原不等式可化为 $-4 x^{2}+(-4-2 a) x-a-1 \leq 0$ ，
即 $-\left[2 x+\left(\frac{1}{2} a+1\right)\right]^{2}+\frac{1}{4} a^{2} \leq 0$ ，
观察可知，当 $a=0$ 时，$-(2 x+1)^{2} \leq 0$ 对 $-2 \leq x \leq 2$ 一定成立，当且仅当 $x=-\frac{1}{2}$ 取等号，
此时，$a=0, b=-4$ ，说明 $t=-4$ 时，$a, b$ 均可取到，满足题意，
故 $t=2 a+b$ 的最小值为－4。
故答案为：－4