（12分）已知a，b，c分别是 A B C 内角A，B，C…——2015 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【专题】58：解三角形

【分析】（I） $\sin ^ { 2 } B = 2 \sin A \sin C$ ，由正弦定理可得： $\mathtt { b } ^ { 2 } = 2 \mathtt { a c }$ ，再利用余弦定理即可得出

（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出

【解答】解：（I） $\because \sin ^ { 2 } B = 2 \sin A \sin C$

由正弦定理可得： $\frac { a } { \sin A } = \frac { b } { \sin B } = \frac { c } { \sin C } = \frac { 1 } { k } > 0 ,$

代入可得 $( { \mathsf { b } } { \mathsf { k } } ) { \mathsf { \Omega } } ^ { 2 } { \mathsf { = } } 2 { \mathsf { a } } { \mathsf { k } } { \mathsf { \bullet } } { \mathsf { c } } { \mathsf { k } }$

$$ \therefore b ^ { 2 } = 2 a c , $$

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得： $\cos B = \frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } - b ^ { 2 } } { 2 a c } = \frac { a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } a ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 a \times \frac { 1 } { 2 } a } = \frac { 1 } { 4 }$

（II）由（I）可得： $\mathtt { b } ^ { 2 } \mathtt { = } 2 \mathtt { a c }$

$\because B = 9 0 ^ { \circ }$ ，且 $\scriptstyle \mathsf { a } = { \sqrt { 2 } } ,$

$\therefore a ^ { 2 } + c ^ { 2 } = b ^ { 2 } = 2 a c$ ，解得 $\scriptstyle \mathsf { a = c = { \sqrt { 2 } } }$

∴ $\mathsf { S } _ { \Delta \mathsf { A B C } } { = } \frac { 1 } { 2 } \mathsf { a c } ^ { = 1 }$

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题