（5分）设 a , b , c 是单位向量，且 a · b…——2009 高考数学第 6 题答案解析

【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算

【专题】16：压轴题

【分析】由题意可得 $\vert \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } \vert = \sqrt { 2 }$ ，故要求的式子即 $\vec { \mathsf { a } } \bullet \vec { \mathsf { b } } - ( \vec { \mathsf { a } } + \vec { \mathsf { b } } ) \bullet \vec { \mathsf { c } } ^ { + } \vec { \mathsf { c } } ^ { 2 } = 1 -$ $\vert \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } \vert \cdot \vert \overrightarrow { c } \vert$ $\cos < \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b }$ $\overrightarrow { c } > = 1 - \sqrt { 2 } \cos < \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b }$ $\vec { \circ } >$ ，再由余弦函数的值域求出它的最小值

【解答】解： $\because \vec { \mathsf { a } } _ { \mathsf { } } , \vec { \mathsf { b } } _ { \mathsf { } } , \vec { \mathsf { c } }$ 是单位向量， $\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 0 , \cdot \overrightarrow { \cdot } \overrightarrow { a } \bot \overrightarrow { b } , \vert \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } \vert = \sqrt { 2 } \cdot$ $\therefore ( \overrightarrow { a } - \overrightarrow { c } ) \bullet ( \overrightarrow { b } - \overrightarrow { c } ) = \overrightarrow { a } \bullet \overrightarrow { b } - ( \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } ) \bullet \overrightarrow { c } + \overrightarrow { c } = 0 - ( \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } ) \bullet \overrightarrow { c } + 1 = 1 - | \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } | \bullet | \prec | \overrightarrow { c } |$

$$ \cos < \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } , \overrightarrow { c } > $$

$$ = 1 - \sqrt { 2 } \cos < \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } , \overrightarrow { \mathrm { ~ \small ~ \overrightarrow ~ { ~ c ~ } ~ } } > \geq 1 - \sqrt { 2 } . $$

故选：D

【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律