（2012•天津）在 ABC 中，内角A，B，C所对的边分…——2012 高考数学第 16 题答案解析

【解答】
（2012•天津）在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，内角A，B，C所对的边分别是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ ，已知 $\mathrm{a}=2, \mathrm{c}=\sqrt{2}, \cos \mathrm{~A}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ ．
（1）求 $\sin \mathrm{C}$ 和 b 的值；
（2）求 $\cos \left(2 \mathrm{~A}+\frac{\pi}{3}\right)$ 的值。

考点 解三角形；三角函数中的恒等变换应用。
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专题 计算题。
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分析（1）$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，利用同角三角函数的基本关系求出 $\sin \mathrm{A}$ ，再由正弦定理求出 $\sin \mathrm{C}$ ，再由余弦定理求得 $\mathrm{b}=1$ ．
：（2）利用二倍角公式求得 $\cos 2 \mathrm{~A}$ 的值，由此求得 $\sin 2 \mathrm{~A}$ ，再由两角和的余弦公式求出 $\cos \left(2 \mathrm{~A}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 2 \mathrm{Aco} s \frac{\pi}{3}-\sin 2 A \sin \frac{\pi}{3}$ 的值。
解答 解：（1）$\triangle \mathrm{ABC}$ 中，由 $\cos \mathrm{A}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$ 可得 $\sin \mathrm{A}=\frac{\sqrt{14}}{4}$ ．
再由 $\frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{A}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}$ 以及 $\mathrm{a}=2 , \mathrm{c}=\sqrt{2}$ ，可得 $\sin \mathrm{C}=\frac{\sqrt{7}}{4}$ ．
由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cdot \cos A$ 可得 $b^{2}+b-2=0$ ，解得 $b=1$ ．
②由 $\cos \mathrm{A}=-\frac{\sqrt{2}}{4} , \sin \mathrm{~A}=\frac{\sqrt{14}}{4}$ 可得 $\cos 2 \mathrm{~A}=2 \cos ^{2} \mathrm{~A}-1=-\frac{3}{4}, \sin 2 \mathrm{~A}=2 \sin \mathrm{~A} \cos \mathrm{~A}=-\frac{\sqrt{7}}{4}$ ．
故 $\cos \left(2 \mathrm{~A}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 2 \mathrm{~A} \cos \frac{\pi}{3}-\sin 2 \mathrm{~A} \sin \frac{\pi}{3}=\frac{-3+\sqrt{21}}{8}$ ．
点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式以及两角和的余弦公式，同角三角函数的基本关系的 ：应用，属于中档题。