（14分）如图，正方形 AMDE 的边长为 2, ~B ,…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】 MI ：直线与平面所成的角．
【专题】11：计算题；14：证明题；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．
【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得；
②由于 $P A \perp$ 底面 $A B C D E$ ，底面 $A M D E$ 为正方形，建立如图的空间直角坐标系 $A x y z$ ，分别求出 $A, B, C, E, P, F$ ，及向量 $B C$ 的坐标，设平面 $A B F$ 的法向量为 $n=(x, y, z)$ ，求出一个值，设直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成的角为 $\alpha$ ，运用 $\sin \alpha=|\cos <\mathrm{n}, ~ \overrightarrow{B C}>|$ ，求出角 $\alpha$ ；设 $\mathrm{H}(\mathrm{u}, \mathrm{v}, \mathrm{w})$ ，再设 $\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PC}}(0<\lambda<1)$ ，用 $\lambda$ 表示 H 的坐标，再由 $\mathrm{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}=0$ ，求出 $\lambda$ 和 H 的坐标，再运用空间两点的距离公式求出 PH 的长．

【解答】（1）证明：在正方形 AMDE 中，$\because \mathrm{B}$ 是 AM 的中点，
$\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{DE}$ ，又 $\because \mathrm{AB} \not \subset$ 平面 $\mathrm{PDE}, \therefore \mathrm{AB} / /$ 平面 PDE ，
$\because A B \subset$ 平面 $A B F$ ，且平面 $A B F \cap$ 平面 $P D E=F G$ ，
$\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{FG}$ ；
（2）解：∵ $P A \perp$ 底面 $A B C D E, ~ \therefore P A \perp A B, ~ P A \perp A E$ ，
如图建立空间直角坐标系 Axyz ，则 $\mathrm{A}(0,0,0)$ ，
$\mathrm{B}(1,0,0), \mathrm{C}(2,1,0), \mathrm{P}(0,0,2)$ ，
$\mathrm{E}(0,2,0), \mathrm{F}(0,1,1), \overrightarrow{\mathrm{BC}}=(1,1,0)$ ，
设平面 $A B F$ 的法向量为 $\overrightarrow{\mathrm{n}}=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ ，则

$\left\{\begin{array}{l}\vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}=0\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y+z=0\end{array}\right.$,
令 $z=1$ ，则 $y=-1, \therefore \vec{n}=(0,-1,1)$ ，
设直线 $B C$ 与平面 $A B F$ 所成的角为 $\alpha$ ，则
$\sin \alpha=\left|\cos <\overrightarrow{\mathrm{n}}, \quad \overrightarrow{\mathrm{BC}}>\left|=\left|\frac{\overrightarrow{\mathrm{n}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}}{|\overrightarrow{\mathrm{n}}| \cdot|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|}\right|=\frac{1}{2}\right.\right.$,
∴ 直线 BC 与平面 ABF 所成的角为 $\frac{\pi}{6}$ ，
设 $H(u, v, w), \because H$ 在棱 $P C$ 上，∴ 可设 $\overrightarrow{\mathrm{PH}}=\lambda \overrightarrow{\mathrm{PC}}(0<\lambda<1)$ ，
即 $(u, v, w-2)=\lambda(2,1,-2), \therefore u=2 \lambda, v=\lambda, w=2-2 \lambda, \because \vec{n}$ 是平面 ABF 的法向量，
$\therefore \vec{n} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AH}}=0$ ，即 $(0,-1,1) \cdot(2 \lambda, \lambda, 2-2 \lambda)=0$ ，解得 $\lambda=\frac{2}{3}, \therefore \mathrm{H} \left(\frac{4}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$,
$\therefore \mathrm{PH}=\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}}=2$.

【点评】本题主要考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面平行、垂直的判定和性质，同时考查直线与平面所成的角的求法，考查运用空间直角坐标系求角和距离，是一道综合题。