在△ABC 中，sin2A ≤ sin2B+ s i n…——2011 高考数学第 8 题答案解析

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$，可将角的关系转化为边的关系。
原不等式 $\sin^2 A \leq \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C$ 等价于：
$$ \left(\frac{a}{2R}\right)^2 \leq \left(\frac{b}{2R}\right)^2 + \left(\frac{c}{2R}\right)^2 - \frac{b}{2R} \cdot \frac{c}{2R} $$
整理得：
$$ a^2 \leq b^2 + c^2 - bc $$
即：
$$ b^2 + c^2 - a^2 \geq bc $$
根据余弦定理 $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$，将上述不等式代入分子：
$$ \cos A \geq \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2} $$
因为 $A$ 为三角形的内角，所以 $A \in (0, \pi)$。
在 $(0, \pi)$ 区间内，$\cos A$ 单调递减，且 $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$。
由 $\cos A \geq \frac{1}{2}$ 可得：
$$ 0 < A \leq \frac{\pi}{3} $$
故 $A$ 的取值范围是 $(0, \frac{\pi}{3}]$。