连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦…_2008全国高考数学第10题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 的长度分别等于 $2 \sqrt{7} 、 4 \sqrt{3}, ~ M 、 N$ 分别为 $A B 、 C D$ 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 可能相交于点 M
②弦 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 可能相交于点 N
③ MN 的最大值为 5
④ MN 的最小值为 1

其中真命题的个数为

Accepted Answer

【解答】 $C$ ．解：（1）（3）（4）正确，②错误。易求得 $M 、 N$ 到球心 $O$ 的距离分别为 $3 、 2$ ，若两弦交于 $N$ ，则 $O M \perp M N$ ，Rt $	riangle O M N$ 中，有 $O M<O N$ ，矛盾。当 $M 、 O 、 N$ 共线时分别取最大值 5 最小值 1 。

连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为 4 的球的两条弦…——2008 高考数学第 10 题答案解析

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