（5分）钝角三角形 ABC 的面积是 1 2 , AB =…——2014 高考数学第 4 题答案解析

【考点】HR：余弦定理．
【专题】56：三角函数的求值．
【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，$A B$ ，$B C$ 的值代入求出 $\sin \mathrm{B}$ 的值，分两种情况考虑：当 B 为钝角时；当 B 为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出 $\cos \mathrm{B}$ 的值，利用余弦定理求出 AC 的值即可。
【解答】解：∵ 钝角三角形 $A B C$ 的面积是 $\frac{1}{2}, A B=c=1, B C=a=\sqrt{2}$ ，
$\therefore \mathrm{S}=\frac{1}{2} \operatorname{acsin} \mathrm{~B}=\frac{1}{2}$ ，即 $\sin \mathrm{B}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，

当 B 为钝角时， $\cos \mathrm{B}=-\sqrt{1-\sin ^{2} \mathrm{~B}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
利用余弦定理得：$A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \bullet B C \bullet \cos B=1+2+2=5$ ，即 $A C=\sqrt{5}$ ，
当 B 为锐角时， $\cos \mathrm{B}=\sqrt{1-\sin ^{2} \mathrm{~B}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，
利用余弦定理得：$A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}-2 A B \bullet B C \bullet \cos B=1+2-2=1$ ，即 $A C=1$ ，
此时 $A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}$ ，即 $\triangle A B C$ 为直角三角形，不合题意，舍去，
则 $\mathrm{AC}=\sqrt{5}$ ．
故选：B．
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．