2010_省自主命题（陕西）
11. 观察下列等式： $1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } = ( 1 + 2 ) ^ { 2 } , 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } = ( 1 + 2 + 3 ) ^ { 2 }$
$1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) ^ { 2 } , \cdots$ ，根据上述规律，第四个等式为
$1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) 2$ (或 152)
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】$1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } = ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) 2$ (或 152)
【解答】
观察下列等式： $1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } = ~ ( 1 + 2 ) ~ ^ { 2 } , ~ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } = ~ ( 1 + 2 + 3 ) ~ ^ { 2 } , ~ 1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } =$ $( 1 + 2 + 3 + 4 ) \ ^ { 2 } , \ldots ,$ ，根据上述规律，第四个等式为 $1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } = \ ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5$ ）2（或152）
解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方所以第四个等式为 $1 ^ { 3 } + 2 ^ { 3 } + 3 ^ { 3 } + 4 ^ { 3 } + 5 ^ { 3 } = ~ ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ) ~ ^ { 2 } ~ ( \tt { H } \tt { \ddot { \chi } } 1 5 ^ { 2 } )$