2014_新课标II卷
10．（5分）设F为抛物线C： $y ^ { 2 } = 3 x$ 的焦点，过F且倾斜角为 ${ \mathfrak { 3 0 } } ^ { \circ }$ 的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则 $\triangle0 \mathsf { A B }$ 的面积为（ ）A $\frac { 3 { \sqrt { 3 } } } { 4 }$ B $\frac { 9 { \sqrt { 3 } } } { 8 }$ C $\frac { 6 3 } { 3 2 }$ D $\frac { 9 } { 4 }$
D
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K8：抛物线的性质
【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把 $\triangle0 \mathsf { A B }$ 的面积表示为两个小三角形 $\mathsf { A O F }$ 与 $\mathtt { B O F }$ 的面积和得答案
【解答】解：由 $\mathsf { y } ^ { 2 } { = } 2 \mathsf { p } \mathsf { x }$ ，得 $2 p = 3$ ， $\mathsf { p } { = } \frac { 3 } { 2 }$
则 $\textsf { F } ( \frac { 3 } { 4 } , \ q )$
∴过A，B的直线方程为 $v = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } ( x - \frac { 3 } { 4 } )$
即 $x = \sqrt { 3 } y + \frac { 3 } { 4 }$
联立 $\left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle y ^ { 2 } = 3 x } } \\ { { \displaystyle x = \sqrt { 3 } y + \frac { 3 } { 4 } } } \end{array} \right.$ ，得 $4 y ^ { 2 } - 1 2 { \sqrt { 3 } } y - 9 = 0$
设A $( { \sf x } _ { 1 } , { \sf y } _ { 1 } ) , { \sf B } ( { \sf x } _ { 2 } , { \sf y } _ { 2 } )$
则 $\forall 1 ^ { + } \forall 2 ^ { = } 3 \sqrt { 3 } , \forall 1 \forall 2 ^ { = } - \frac { 9 } { 4 }$
$\cdot 5 _ { \triangle \cup \mathbb { A } \mathbb { B } } = 5 _ { \triangle \cup \mathbb { A } ^ { + } } + 5 _ { \triangle \cup \mathbb { F B } } = \frac { 1 } { 2 } \times \frac { 3 } { 4 } | \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } | = \frac { 3 } { 8 } \sqrt { ( \mathbf { y } _ { 1 } + \mathbf { y } _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \mathbf { y } _ { 1 } \mathbf { y } _ { 2 } } = \frac { 3 } { 8 } \times \sqrt { ( 3 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + 9 } \frac { 9 } { 4 } .$
故选：D
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题