2008_quanguo_old_i
8．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \ln { \sqrt { \mathbf { x } } } + 1$ 的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（ ）A ${ \tt e } ^ { 2 { \tt x } \mathrm { ~ - ~ } 2 }$ B． $\mathsf { e } ^ { 2 \mathsf { x } }$ C ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathsf { x } + 1 }$ D ${ \mathsf { e } } ^ { 2 \mathbf { x } + 2 }$
见解析
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】4R：反函数
【专题】11：计算题
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \ln { \sqrt { \mathbf { x } } } + 1$ 的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数 $\scriptstyle \mathbf { y } = \ln { \sqrt { \mathbf { x } } } + 1$ 中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式
【解答】解： $\because y - 1 = \ln \sqrt { x } , \therefore \sqrt { x } = e ^ { y - 1 } , \therefore x = ( e ^ { y - 1 } ) ^ { 2 } = e ^ { 2 y - 2 }$ ，改写为： $\mathsf { y } = \mathsf { e } ^ { 2 \mathsf { x } - 2 }$ ∴答案为A
【点评】本题主要考查了互为反函数图象间的关系及反函数的求法