2017_新课标III卷
16．（5分）设函数f $( \mathbf { x } ) \mathbf { \Psi } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } + 1 , } & { \mathbf { x } \leqslant 0 } \\ { 2 ^ { \mathbf { x } } , } & { \mathbf { x } > 0 } \end{array} \right.$ ，则满足f $( \mathsf { x } ) + \mathsf { f } ( \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) > 1$ 的x的取 值范围是 $( \frac { 1 } { 4 } , + \infty )$
$( \frac { 1 } { 4 } , + \infty )$
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】3T：函数的值
【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用
【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可
【解答】解：若 $\tt x { \leq } 0$ ，则 $x - \frac { 1 } { 2 } \leq - \frac { 1 } { 2 }$
则f $( \textsf { x } ) + f ( \textsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) > 1$ 等价为 $\mathsf { x } { + } 1 { + } \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } \mathsf { + } 1 { > } 1$ ，即 $2 { \mathsf { x } } { \mathsf { > - { \frac { 1 } { 2 } } } }$ ，则 $\times > \frac { 1 } { 4 }$ 此时 $\frac { 1 } { 4 } < x \leq 0$
当 $| \mathsf { x } > 0 |$ 时， ${ \textsf { f } } \left( \mathbf { { x } } \right) = 2 ^ { \mathbf { { x } } } { { > } } 1$ $x - \frac { 1 } { 2 } > - \frac { 1 } { 2 }$
当 $x - \frac { 1 } { 2 } > 0$ 即 $x { > } \frac { 1 } { 2 }$ 时，满足f $( \mathsf { x } ) + \mathsf { f } ( \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) > 1$ 恒成立，
当 $0 { \geq } \mathsf { x } - \frac { 1 } { 2 } { > } - \frac { 1 } { 2 }$ ，即 $\frac { 1 } { 2 } \geq x >$ 0时， ${ \textsf { f } } ( { \textsf { x } } - { \frac { 1 } { 2 } } ) = { \textsf { x } } - { \frac { 1 } { 2 } } + 1 = { \textsf { x } } + { \frac { 1 } { 2 } } > { \frac { 1 } { 2 } } .$
此时f（x）+f $( \textsf { x } - \frac { 1 } { 2 } ) \ > 1$ 恒成立，
综上 $x { > } \frac { 1 } { 4 } ;$
故答案为： $( \frac { 1 } { 4 } , + \infty )$
【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论的数学思想进行求解是解决本题的关键