2012_xinkebiao_old
4．（5分）设 ${ \sf F } _ { 1 } , \ { \sf F } _ { 2 }$ 是椭圆E： $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > b > 0 )$ 的左、右焦点，P为直线 $\pmb { \mathrm { x } } \pmb { = }$ $\frac { 3 \tt a } { 2 }$ 上一点， $\triangle \mathsf { F } _ { 2 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 1 }$ 是底角为 $3 0 ^ { \circ }$ 的等腰三角形，则E的离心率为（A $\frac { 1 } { 2 }$ B $\frac { 2 } { 3 }$ C $\frac { 3 } { 4 }$ D $\frac { 4 } { 5 }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【考点】K4：椭圆的性质
【专题】11：计算题
【分析】利用 $\triangle \mathsf { F } _ { 2 } \mathsf { P } \mathsf { F } _ { 1 }$ 是底角为 $3 0 ^ { \circ }$ 的等腰三角形，可得 $\left| \mathsf { P F } _ { 2 } \right| = \left| \mathsf { F } _ { 2 } \mathsf { F } _ { 1 } \right|$ ，根据P为直
线 $x = \frac { 3 \pi } { 2 } \pm - \frac { 1 5 } { 2 }$ ，可建立方程，由此可求椭圆的离心率
【解答】解： $\because \triangle F _ { 2 } \mathsf { P F } _ { 1 }$ 是底角为 $3 0 ^ { \circ }$ 的等腰三角形，
$$ \therefore \vert \mathsf { P F } _ { 2 } \vert = \vert \mathsf { F } _ { 2 } \mathsf { F } _ { 1 } \vert $$
$\because \mathsf { P }$ 为直线 $\scriptstyle \mathtt { x } = { \frac { 3 \mathtt { a } } { 2 } } \bot - { \frac { \mathtt { H } } { \operatorname* { m } } }$
$$ \therefore 2 ( \frac { 3 } { 2 } a - c ) = 2 c $$
$$ \therefore e = \frac { c } { a } = \frac { 3 } { 4 } $$
故选：C
【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题