2017_新课标I卷
10．（5分）已知F为抛物线C： $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点，过F作两条互相垂直的直线 $\mathsf { i } _ { 1 }$ ， $\mathsf { I } _ { 2 } ;$ 直线 $\lvert \ l _ { 1 }$ 与C交于A、B两点，直线 $| | _ { 2 }$ 与C交于D、E两点，则 $\left| \mathsf { A B } \right| + \left| \mathsf { D E } \right|$ 的最小值为（ ）
A
先把常见基础得分点练稳，再回来处理综合题。
【考点】K8：抛物线的性质
【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程
**方法一**：根据题意可判断当 $\mathsf { A }$ 与 $\mathsf { D }$ ，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1， $\left| \mathsf { A B } \right| + \left| \mathsf { D E } \right|$ 最小，根据弦长公式计算即可
**方法二**：设直线 $\lvert \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { 1 }$ 的倾斜角为θ，则 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的倾斜角为
${ \frac { \pi } { 2 } } \# $ ，利用焦点弦的弦长公式分别表示出 $| \mathsf { A B } | , \mathsf { \Omega } | \mathsf { D E } |$ ，整理求得答案
【解答】解：如图， $\lvert _ { 1 } \bot \rvert _ { 2 }$ ，直线 $\vdots \rvert _ { 1 }$ 与 $\mathsf { C }$ 交于A、B两点，
直线 $\mathsf { i } _ { 2 } .$ 与C交于D、E两点，
要使 $\left| \mathsf { A B } \right| + \left| \mathsf { D E } \right|$ 最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线 $| | _ { 2 }$ 过点（1，0），
则直线 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的方程为 $\mathsf { I y } = \mathsf { x } - 1$
联立方程组 $\scriptstyle { \left\{ \begin{array} { l l } { { \mathbf { y } } ^ { 2 } = 4 { \mathbf { x } } } \\ { { \mathbf { y } } = { \mathbf { x } } - 1 } \end{array} \right. }$ ，则 $y ^ { 2 } - 4 y - 4 = 0$
$$ \therefore y _ { 1 } + y _ { 2 } = 4 , y _ { 1 } y _ { 2 } = { \textrm { - } } 4 , $$
$$ \therefore \mid \mathsf { D } \mathsf { E } \mid = \sqrt { 1 + \frac { 1 } { \boldsymbol { \mathrm { k } } ^ { 2 } } } \bullet \mid \mathsf { y } _ { 1 } - \mathsf { y } _ { 2 } \mid = \sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 2 } = 8 , $$
$\therefore | A B | + | D E |$ 的最小值为 $| 2 | \mathsf { D E } \left| = 1 6 \right.$
**方法二**：设直线 $\lvert \boldsymbol { \mathbf { \rho } } _ { 1 }$ 的倾斜角为θ，则 $\mathsf { I } _ { 2 }$ 的倾斜角为 ${ \frac { \pi } { 2 } } \# $
根据焦点弦长公式可得 $\vert A B \vert = \frac { 2 p } { \sin ^ { 2 } \theta } = \frac { 4 } { \sin ^ { 2 } \theta }$
$$ \left| \mathsf { D E } \right| = \frac { 2 \mathsf { p } } { \mathsf { s i n } ^ { 2 } ( \frac { \pi } { 2 } + \theta ) } = \frac { 2 \mathsf { p } } { \mathsf { c o s } ^ { 2 } \theta } = \frac { 4 } { \mathsf { c o s } ^ { 2 } \theta } $$
$$ \therefore \left| \mathbf { A } \mathbf { B } \right| + \left| \mathbf { \partial } \mathbf { D } \mathbf { E } \right| = \frac { 4 } { \sin ^ { 2 } \theta } + \frac { 4 } { \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { 4 } { \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta } = \frac { 1 6 } { \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta } , $$
∵0＜sin<sup>2</sup>2θ≤1，
∴当 $\theta { = } 4 5 ^ { \circ }$ 时， $\left| \mathsf { A B } \right| + \left| \mathsf { D E } \right|$ 的最小，最小为16，
故选：A
【点评】本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题