2015_省自主命题（陕西）
12. 设复数 $z = ( x - 1 ) + y i ( x , y \in R )$ ，若 $| z | \le 1$ ，则 $y \geq x$ 的概率（ ） A $\frac { 3 } { 4 } { + } \frac { 1 } { 2 \pi }$ B $\frac { 1 } { 2 } { + } \frac { 1 } { \pi }$ C $\frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 2 \pi }$ D $\frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \pi }$
C
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。
【答案】C
【解析】 $z = ( x - 1 ) + y i \Rightarrow | z | = { \sqrt { ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } \leq 1 \Rightarrow ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \leq 1$
如图可求得A(1.1)，B(1.0)，阴影面积等于 $\frac { 1 } { 4 } \pi { \times } 1 ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } { \times } 1 { \times } 1 = \frac { \pi } { 4 } - \frac { 1 } { 2 }$
若 $| z | \le 1$ ，则 $y \ge x$ 的概率 ${ \frac { { \frac { \pi } { 4 } } - { \frac { 1 } { 2 } } } { \pi \times 1 ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 4 } } - { \frac { 1 } { 2 \pi } }$
故答案选C
【考点定位】1.复数的模长；2.几何概型.
【名师点睛】1.本题考查复数的模长和几何概型，利用 $z = a + b i \Rightarrow \mid z \mid = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } }$ 把此题转化成几何概型，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解.2.求几何概型，一般先要求出实验的基本事件构成的区域长度（面积或体积），再求出事件A构成区域长度（面积或体积），最后再代入几何概型的概率公式求解；求几何概型概率时，一定要分清“试验”和“事件”，这样才能找准基本事件构成的区域长度（面积或体积）.3.本题属于题，注意运算的准确性.