在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D-中，已知…——2022 高考数学第 5 题答案解析

【答案】D
【解析】
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设 $1, ,AB a AD b AA c= = =$，依题以及长方体的结构特征可知， 1B D与平面 ABCD所成角为
1B DBÐ， 1B D与平面 1 1AA B B所成角为 1DB AÐ，所以
$1 1sin 30c bB D B D= =o$，即$b c=$，
$2 2 212B D c a b c= = + +$，解得 $2ac=$．
对于 A，$AB a=$，$AD b=$， $2AB AD=$，A 错误；
对于 B，过B作 $1BE AB^$于E，易知$BE^$平面 1 1AB C D，所以 AB与平面 1 1AB C D所成角为 BAEÐ，
因为 2tan2cBAEaÐ = =，所以 30BAEÐ ¹o，B 错误；

对于 C， $2 23AC a b c= + =$， $2 212CB b c c= + =$， 1AC CB¹，C 错误；
对于 D， 1B D与平面 1 1BB C C所成角为 1DBCÐ， 112sin2 2CD aDB CB D cÐ = = =，而
10 90DB C< Ð <o，所以 145DB CÐ =o．D 正确．
故选：D．