函数 f ( x ) = | 2 x - 1 | - 2…——2021 高考数学第 15 题答案解析

【答案】1

【解析】

【分析】由解析式知f x( )定义域为 $( 0 , + \infty )$ ，讨论 $0 < x \leq \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } < x \leq 1$ $x > 1$ ，并结合导数研究的单调性，即可求f x( )最小值.

【详解】由题设知： $f ( x ) = \mid 2 x - 1 \mid - 2 \ln x$ 定义域为 $( 0 , + \infty )$

∴当 $0 < x \leq \frac { 1 } { 2 }$ 时， $f ( x ) = 1 - 2 x - 2 \ln x$ ，此时f x( )单调递减；

当 $\frac { 1 } { 2 } < x \leq 1$ 时， $f ( x ) = 2 x - 1 - 2 \ln x$ ，有 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 - \frac { 2 } { x } { \leq 0 }$ ，此时 f x( ) 单调递减；

当 x >1时， $f ( x ) = 2 x - 1 - 2 \ln x$ ，有 $f ^ { \prime } ( x ) = 2 - \frac { 2 } { x } > 0$ ，此时f x( )单调递增；

又f x( ) 在各分段的界点处连续，

∴综上有： $0 < x \leq 1$ 时， f x( ) 单调递减， x >1时， f x( ) 单调递增；

$$ \therefore f ( x ) \geq f ( 1 ) = 1 $$

故答案为：1.