（3分）已知曲线 y = x + 1 n x 在点（1，1…——2015 高考数学第 16 题答案解析

【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程

【专题】26：开放型；53：导数的综合应用

【分析】求出 $y = x + 1 n x$ 的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线 $y = a x ^ { 2 } + ( a + 2 ) x + 1$ 相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据 $\triangle { = } 0$ 得到a的值

【解答】解： $y = x + 1 n x$ 的导数为 $y ^ { \prime } { = } 1 ^ { + } \frac { 1 } { \mathbf { x } }$

曲线 $\scriptstyle \forall = \mathbf { x } + \ln \mathbf { x } \not \in \mathbf { x } = 1$ 处的切线斜率为 $k = 2$ ，

则曲线 $y = x + 1 n x$ 在x=1处的切线方程为 $\vert y - 1 = 2 x - 2$ ，即 $\mathsf { y } = 2 \mathsf { x } - 1$

由于切线与曲线 $y = a x ^ { 2 } + ( a + 2 ) x + 1$ 相切，

故 $y = a x ^ { 2 } + ( a + 2 ) x + 1$ 可联立 $\tt y = 2 x - 1$

得 $\mathsf { a x } ^ { 2 + } \mathsf { a x } ^ { + } 2 { = } 0$

又 $\mathtt { a } \neq 0$ ，两线相切有一切点，

所以有 $\triangle { = } \mathsf { a } ^ { 2 } - 8 \mathsf { a } { = } 0$ 9

解得a=8

故答案为：8

【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键

三．