（12分）四边形ABCD的内角A与C互补，AB=1，BC=…——2014 高考数学第 17 题答案解析

【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理

【专题】56：三角函数的求值

【分析】（1）在三角形BCD中，利用余弦定理列出关系式，将BC，CD，以及cosC的值代入表示出 ${ \mathsf { B } } { \mathsf { D } } ^ { 2 }$ ，在三角形ABD中，利用余弦定理列出关系式，将AB，DA以及cosA的值代入表示出 $\mathsf { B D } ^ { 2 }$ ，两者相等求出cosC的值，确定出C的度数，进而求出BD的长；

> ②由C的度数求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABD与三角形BCD面积，之和即为四边形ABCD面积

【解答】解：（1）在 $\triangle \mathsf { B C D ^ { \scriptscriptstyle \parallel } }$ 中，BC=3，CD=2，

由余弦定理得： ${ \mathsf { B D } } ^ { 2 } { = } { \mathsf { B C } } ^ { 2 } { + } { \mathsf { C D } } ^ { 2 } - 2 { \mathsf { B C } } { \bullet } { \mathsf { C D } } { \mathsf { c o s } } { \mathsf { C } } { = } 1 3 - 1 2 { \mathsf { c o s } } { \mathsf { C } } { \widehat { \big ( } } 1 { \big ) }$

在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，

由余弦定理得： $B D ^ { 2 } = A B ^ { 2 } + A D ^ { 2 } - 2 A B \bullet A D C O s A = 5 - 4 C O S A = 5 + 4 C O S C \textcircled { 2 }$

由 $\textcircled{1} \textcircled{2}$ 得： $\cos C = \frac { 1 } { 2 }$

则 ${ \mathsf { C } } { = } 6 0 ^ { \circ } , ~ { \mathsf { B } } { \mathsf { D } } { = } { \sqrt { \mathsf { 7 } } } ;$

> ② $\because \cos C = \frac { 1 } { 2 } , \cos A = - \frac { 1 } { 2 }$

$$ \therefore \sin C = \sin A = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , $$

$$ | S { = } \frac { 1 } { 2 } \mathsf { A B } \bullet \mathsf { D A s i n A } { + } \frac { 1 } { 2 } \mathsf { B C } \bullet \mathsf { C D s i n C } { = } \frac { 1 } { 2 } \times 1 \times 2 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } { + } \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 2 \times \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } { = } 2 \sqrt { 3 } . $$

【点评】此题考查了余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及三角形面积公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键