（2012•天津）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底…——2012 高考数学第 17 题答案解析

【解答】
（2012•天津）如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，底面 ABCD 是矩形， $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}, \mathrm{BC}=1, \mathrm{PC}=2 \sqrt{3}, \mathrm{PD}=\mathrm{CD}=2$ ．
（1）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；
（2）证明：平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ；
（3）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值．

考 直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定。
点
：
专 计算题；证明题；综合题。

：
分（1）判断 $\angle \mathrm{PAD}$ 为异面直线 PA 与 BC 所成角，在Rt $\triangle \mathrm{PDA}$ 中，求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；
析（2）说明 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，通过 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}, ~ \mathrm{CD} \cap \mathrm{PD}=\mathrm{D}$ ，证明 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 PDC ，然后证明平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ．
：（3）在平面 PDC 中，过点 P 作 $\mathrm{PE} \perp \mathrm{CD}$ 于 E ，连接 EB ．说明 $\angle \mathrm{PBE}$ 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角，求出 $\mathrm{PE}, \mathrm{PB}$ ，在Rt $\triangle \mathrm{PEB}$ 中，通过 $\sin \angle \mathrm{PBE}=\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{PB}}$ ，求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值．
解（1）解：如图，在四棱锥 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 中，
答 因为底面 ABCD 是矩形，所以 $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ ，且 $\mathrm{AD} \| \mathrm{BC}$ ，
：又因为 $A D \perp P D$ ，
故 $\angle \mathrm{PAD}$ 为异面直线 PA 与 BC 所成角，
在Rt $\triangle \mathrm{PDA}$ 中， $\tan \angle \mathrm{PAD}=\frac{\mathrm{PD}}{\mathrm{AD}}=2$ ，
所以异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值为： 2 ．
（2）证明：由于底面 ABCD 是矩形，故 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$ ，
由于 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{PD}, \mathrm{CD} \cap \mathrm{PD}=\mathrm{D}$ ，
因此 $\mathrm{AD} \perp$ 平面 PDC ，而 $\mathrm{AD} \subset$ 平面 ABCD ，所以平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ．
（3）解：在平面 PDC 中，过点 P 作 $\mathrm{PE} \perp \mathrm{CD}$ 于 E ，连接 EB ．
由于平面 $\mathrm{PDC} \perp$ 平面 ABCD ，
而直线 CD 是平面 PDC 与平面 ABCD 的交线，
故 $\mathrm{PE} \perp$ 平面 ABCD 。
由此得 $\angle \mathrm{PBE}$ 为直线 PB 与平面 ABCD 所成角，
在 $\triangle \mathrm{PDC}$ 中，
由于 $\mathrm{PD}=\mathrm{CD}=2, \mathrm{PC}=2 \sqrt{3}$ ，可得 $\angle \mathrm{PCD}=30^{\circ}$ ，
在Rt $\triangle \mathrm{PEC}$ 中， $\mathrm{PE}=\mathrm{PC} \sin 30^{\circ}=\sqrt{3}$ ．
由 $\mathrm{AD} \| \mathrm{BC}, \mathrm{AD} \perp$ 平面 PDC ，得 $\mathrm{BC} \perp$ 平面 PDC ，
因此 $B C \perp P C$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{PCB}$ 中， $\mathrm{PB}=\sqrt{\mathrm{PC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}}=\sqrt{13}$ ．
在Rt $\triangle \mathrm{PEB}$ 中， $\sin \angle \mathrm{PBE}=\frac{\mathrm{PE}}{\mathrm{PB}}=\frac{\sqrt{39}}{13}$ ．
所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{39}}{13}$ ．

点 本题考查直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能评 力。