2009 全国高考数学 2009_旧全国 I 卷 (2009·文) 第 9 题答案解析 | 高考数学真题检索

Question

9．（5分）已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长都相等，$A_{1}$ 在底面 $A B C$ 上的射影 D 为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角的余弦值为（）
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Accepted Answer

D

【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】首先找到异面直线 $A B$ 与 $C C_{1}$ 所成的角（如 $\angle A_{1} A B$ ）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出 $A_{1} B$ 的长度即可；不妨设三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长为 1 ，利用勾股定理即可求之。 【解答】解：设 $B C$ 的中点为 $D$ ，连接 $A_{1} D 、 A D 、 A_{1} B$ ，易知 $	heta=\angle A_{1} A B$ 即为异面直线 AB 与 $\mathrm{CC}_{1}$ 所成的角； 并设三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面边长为 1 ，则 $|A D|=\frac{\sqrt{3}}{2},\left|A_{1} Dight|=\frac{1}{2},\left|A_{1} Bight|$ $=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 由余弦定理，得 $\cos 	heta=\frac{1+1-\frac{1}{2}}{2}=\frac{3}{4}$ ． 故选：D． 【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．

2009 高考数学第 9 题答案解析

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