（13 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AB∥CD，…——2013 高考数学第 17 题答案解析

【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；LY：平面与平面垂直

【专题】5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何

【分析】（Ⅰ）根据条件，利用平面和平面垂直的性质定理可得 $\mathsf { P A } \bot$ 平面 ABCD

（Ⅱ）根据已知条件判断 ABED 为平行四边形，故有 BE∥AD，再利用直线和平面平行的判定定理证得BE∥平面PAD

（Ⅲ）先证明 ABED 为矩形，可得 BE⊥CD ①．现证 $\complement \mathsf { D \bot }$ 平面 PAD，可得 CD⊥PD，再由三角形中位线的性质可得 EF∥PD，

从而证得 $C D \bot E F ( 2 )$ ．结合①②利用直线和平面垂直的判定定理证得 CD⊥平面

BEF，再由平面和平面垂直的判定定理

证得平面BEF⊥平面PCD

【解答】解： $( \texttt { I } ) \because \mathsf { P A \bot A D }$ ，平面 $\mathsf { P A D \perp }$ 平面 ABCD，平面 PAD∩平面$A B C D = A D$ ，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD

（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC 的中点，故四边形ABED 为平行四边形，故有BE∥AD

又 AD⊂平面 PAD，BE 不在平面 PAD 内，故有 BE∥平面 PAD

（Ⅲ）平行四边形ABED中，由 $A B \bot A D$ 可得，ABED 为矩形，故有 $B E \bot C D \textcircled { 1 }$

由 $\mathsf { P A } \bot$ 平面ABCD，可得 $P A \bot A B$ ，再由 $A B \bot A D$ 可得 AB⊥平面PAD，

$\therefore C D \perp$ 平面 PAD，故有 CD⊥PD

再由E、F 分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，

∴CD⊥EF ②

而EF 和BE是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF

由于 CD⊂平面 PCD，∴平面 BEF⊥平面 PCD

【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理，直线和平面平行的判定定理，

平面和平面垂直的判定定理、性质定理的应用，属于中档题