如图，在以 A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边…——2024 高考数学第 21 题答案解析

【答案】 （1）证明见详解；
（2）6 1313
【解析】
【分析】 （1）结合已知易证四边形BCDM为平行四边形，可证 //BM CD，进而得证；

（2）作$FO AD^$，连接OB，易证 , ,OB OD OF三垂直，结合等体积法 $M ABF F ABMV V- -=$即可求解.
【小问 1 详解】
因为 // , $2, 4,BC AD BC AD M= =$为 AD的中点，所以 // ,$BC MD BC MD=$，
四边形BCDM为平行四边形，所以 //BM CD，
又因 BMË平面CDE，CDÌ平面CDE，所以 //BM平面CDE；
【小问 2 详解】
如图所示，作 $BO AD^$交 AD于O，连接 OF，因为四边形 ABCD为等腰梯形， // , $4,BC AD AD=2AB BC= =$，所以 $2CD=$，
结合①BCDM为平行四边形，可得 $2BM CD= =$，
又 $2AM=$，所以 ABMV为等边三角形，O为 AM中点，所以 $3OB=$，
又因为四边形 ADEF为等腰梯形，M为 AD中点，所以 , //$EF MD EF MD=$，
四边形EFMD为平行四边形，$FM ED AF= =$，所以 AFM△为等腰三角形，
ABMV与 AFM△底边上中点O重合，$OF AM^$， $2 23OF AF AO= - =$，
因为 $2 2 2OB OF BF+ =$，所以$OB OF^$，所以 , ,OB OD OF互相垂直，
由等体积法可得 $M ABF F ABMV V- -=$， $21 1 32 3 33 3 4F ABM ABMV S FO-=$ × = × × × =△，
2 222 2 210 2 2 31 39cos ,sin22 10 2 2 10 2 10FA AB FBFAB FABFA AB+ -+ -Ð = = = Ð =×× ×
，
$1 1 39 39sin 10 22 2 22 10FABS FA AB FAB=$ × × Ð = × × × =△，
设点M到FAB的距离为d，则 $1 1 3933 3 2M FAB F ABM FABV V S d d- -= =$ × × = × × =△，
解得 $61313d=$，即点M到 ABF的距离为6 1313
.
为