20．（13分）对于数对序列 $\mathrm{P}:\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right),\left(\mathrm{a}_{2}, \mathrm{~b}_{2}\right), \ldots,\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right)$ ，记 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}) =a_{1}+b_{1}, T_{k}(P)=b_{k}+\max \left\{T_{k-1}(P), a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\} \quad(2 \leqslant k \leqslant n)$ ，其中 $\max \left\{T_{k-1}\right.$ （P），$\left.a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\}$ 表示 $T_{k-1}$（P）和 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}$ 两个数中最大的数，
（I）对于数对序列 $\mathrm{P}:(2,5),(4,1)$ ，求 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}), \mathrm{T}_{2}(\mathrm{P})$ 的值；
（II）记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对（ $a, b), ~(c$ ， d）组成的数对序列 $\mathrm{P}:(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{c}, \mathrm{d})$ 和 $\mathrm{P}^{\prime}:(\mathrm{c}, \mathrm{d}),(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，试分别对 $m=a$ 和 $m=d$ 两种情况比较 $T_{2}(P)$ 和 $T_{2}\left(P^{\prime}\right)$ 的大小；
（III）在由五个数对 $(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 最小，并写出 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 的值 （只需写出结论）。
（13分）对于数对序列 P : ( a _ 1 , ~b…——2014 高考数学第 20 题答案解析
2014_北京卷 (2014·理)
完整解析 · 逐步详解
【考点】F9：分析法和综合法．
【专题】23：新定义；48：分析法．
【分析】（I）利用 $T_{1}(P)=a_{1}+b_{1}, T_{k}(P)=b_{k}+\max \left\{T_{k-1}(P), a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\} ~(2 \leqslant k \leqslant n)$ ，可求 $T_{1}(P), T_{2}(P)$ 的值；
（II） $\mathrm{T}_{2}(\mathrm{P})=\max \{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{d}, \mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\}, ~ \mathrm{~T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)=\max \{\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}, ~ \mathrm{c}+\mathrm{a}+\mathrm{b}\}$ ，分类讨论，利用新定义，可比较 $T_{2}(P)$ 和 $T_{2}\left(P^{\prime}\right)$ 的大小；
（III）根据新定义，可得结论．
【解答】解：（ I$) \mathrm{T}_{1}(\mathrm{P})=2+5=7, \mathrm{~T}_{2}(\mathrm{P})=1+\max \left\{\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}), 2+4\right\}=1+\max \{7$ ， $6\}=8 ;$
（ II ） $\mathrm{T}_{2}(\mathrm{P})=\max \{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{d}, \mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{d}\}, \mathrm{T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)=\max \left\{\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}, \mathrm{c}^{+} \mathrm{a}+\mathrm{b}\right\}$ ．
当 $\mathrm{m}=\mathrm{a}$ 时， $\mathrm{T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)=\max \{\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}, \quad \mathrm{c}+\mathrm{a}+\mathrm{b}\}=\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}$ ，
$\because \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{d} \leqslant \mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}$ ，且 $\mathrm{a}+\mathrm{c}+\mathrm{d} \leqslant \mathrm{c}+\mathrm{b}+\mathrm{d}, \quad \therefore \mathrm{T}_{2}(\mathrm{P}) \leqslant \mathrm{T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)$ ；
当 $\mathrm{m}=\mathrm{d}$ 时， $\mathrm{T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)=\max \{\mathrm{c}+\mathrm{d}+\mathrm{b}, \quad \mathrm{c}+\mathrm{a}+\mathrm{b}\}=\mathrm{c}+\mathrm{a}+\mathrm{b}$ ，
$\because a+b+d \leqslant c+a+b$ ，且 $a+c+d \leqslant c+a+d, \therefore T_{2}(P) \leqslant T_{2}\left(P^{\prime}\right)$ ；
∴ 无论 $\mathrm{m}=\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{m}=\mathrm{d}, \mathrm{T}_{2}(\mathrm{P}) \leqslant \mathrm{T}_{2}\left(\mathrm{P}^{\prime}\right)$ ；
（III）根据数对序列（4，6），（11，11），（16，11），（11，8），（5，2），
可得 $T_{1}(P)=4+6=10 ; \quad T_{2}(P)=11+15=26 ; \quad T_{3}(P)=31+11=42 ; \quad T_{4}(P) =8+42=50$ ；
$T_{5}(P)=2+50=52$ ；
逐一检验可得，此数对序列使 $T_{5}(P)$ 最小。
【点评】本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解与运用新定义是解题的关键，属于难题。