2014 高考数学第 20 题答案解析

20．（13分）对于数对序列 $\mathrm{P}:\left(\mathrm{a}_{1}, \mathrm{~b}_{1}\right),\left(\mathrm{a}_{2}, \mathrm{~b}_{2}\right), \ldots,\left(\mathrm{a}_{\mathrm{n}}, \mathrm{b}_{\mathrm{n}}\right)$ ，记 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}) =a_{1}+b_{1}, T_{k}(P)=b_{k}+\max \left\{T_{k-1}(P), a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\} \quad(2 \leqslant k \leqslant n)$ ，其中 $\max \left\{T_{k-1}\right.$ （P），$\left.a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}\right\}$ 表示 $T_{k-1}$（P）和 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{k}$ 两个数中最大的数，
（I）对于数对序列 $\mathrm{P}:(2,5),(4,1)$ ，求 $\mathrm{T}_{1}(\mathrm{P}), \mathrm{T}_{2}(\mathrm{P})$ 的值；
（II）记 $m$ 为 $a, b, c, d$ 四个数中最小的数，对于由两个数对（ $a, b), ~(c$ ， d）组成的数对序列 $\mathrm{P}:(\mathrm{a}, \mathrm{b}),(\mathrm{c}, \mathrm{d})$ 和 $\mathrm{P}^{\prime}:(\mathrm{c}, \mathrm{d}),(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ ，试分别对 $m=a$ 和 $m=d$ 两种情况比较 $T_{2}(P)$ 和 $T_{2}\left(P^{\prime}\right)$ 的大小；
（III）在由五个数对 $(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)$ 组成的所有数对序列中，写出一个数对序列 P 使 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 最小，并写出 $\mathrm{T}_{5}(\mathrm{P})$ 的值 （只需写出结论）。