现代粒子加速器常用电磁场控制粒子团的运动及尺度。简化模型如…——2024 高考物理第 13 题答案解析

【答案】（1） $B = \frac { m \nu _ { 0 } } { 2 q L }$ ；② $d = \frac { 3 } { 2 } \pi L$ ；③ $F = \frac { q \omega } { 3 \nu _ { \mathrm { 0 } } } \cdot \Delta x$

【解析】

【详解】（1）对乙粒子，如图所示

由洛伦兹力提供向心力

$$ q v _ {0} B = m \frac {v _ {0} ^ {2}}{r _ {1}} $$

由几何关系

$$ \sin 30^{\circ} = \frac{L}{r_{1}} $$

联立解得，磁感应强度的大小为

$$ B = \frac{mv_0}{2qL} $$

> ②由题意可知，根据对称性，乙在磁场中运动的时间为

$$ t _ {1} = 2 \times \frac {3 0 ^ {\circ}}{3 6 0 ^ {\circ}} \times \frac {2 \pi m}{q B} = \frac {2 \pi L}{3 v _ {0}} $$

对甲粒子，由对称性可知，甲粒子沿着直线从P点到O 点，由运动学公式

$$ d = \frac {3}{2} v _ {0} t _ {1} + \frac {1}{2} a t _ {1} ^ {2} $$

由牛顿第二定律

$$ a = \frac {q E _ {0}}{m} = \frac {9 v _ {0} ^ {2}}{4 \pi L} $$

联立可得Ⅲ区宽度为

$$ d = \frac {3}{2} \pi L $$

（3）甲粒子经过O 点时的速度为

$$ v _ {\text {甲}} = \frac {3}{2} v _ {0} + a t _ {1} = 3 v _ {0} $$

因为甲在Ⅳ区始终做匀速直线运动，则

$$ \omega t = k x = k \times 3 v _ {0} t $$

可得

$$ k = \frac {\omega}{3 v _ {0}} $$

设乙粒子经过Ⅲ区的时间为 $t _ { 2 }$ ， $\textsf { Z }$ 粒子在Ⅳ区运动时间为 $t _ { 0 }$ ，则上式中

$$ t = t _ {0} + t _ {2} $$

对乙可得

$$ \frac {F}{q} = \omega (t _ {0} + t _ {2}) - k x _ {2} $$

整理可得

$$ x _ {2} = 3 v _ {0} (t _ {0} + t _ {2}) - \frac {3 v _ {0} F}{q \omega} $$

对甲可得

$$ x _ {1} = 3 v _ {0} (t _ {0} + t _ {2}) $$

则

$$ \Delta x = x _ {1} - x _ {2} = \frac {3 v _ {0} F}{q \omega} $$

$$ F = \frac {q \omega}{3 v _ {0}} \cdot \Delta x $$

化简可得乙追上甲前F与Δx间的关系式为