已 知 四 棱 柱 A B C D - A _ 1 B _…——2024 高考数学第 17 题答案解析

由题意，$A_1A \perp$ 平面 $ABCD$，且底面 $ABCD$ 中 $AD \perp AB$，故可以 $A$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_1}$ 的方向为 $x, y, z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。
由已知数据可得各点坐标：
$A(0,0,0), B(2,0,0), D(0,1,0), A_1(0,0,2)$。
因为 $AB // CD, AD \perp AB, DC=1$，所以 $C(1,1,0)$。
进而可得 $B_1(2,0,2), C_1(1,1,2), D_1(0,1,2)$。
由 $N$ 是 $B_1C_1$ 的中点，得 $N(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 2)$；
由 $M$ 是 $DD_1$ 的中点，得 $M(0,1,1)$。

（1）**证明：**
取 $CB_1$ 的中点 $P$，连接 $NP, MP$。
$P$ 点坐标为 $(\frac{2+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1)$。
计算向量：
$\overrightarrow{D_1N} = (\frac{3}{2}-0, \frac{1}{2}-1, 2-2) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$，
$\overrightarrow{MP} = (\frac{3}{2}-0, \frac{1}{2}-1, 1-1) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$。
可见 $\overrightarrow{D_1N} = \overrightarrow{MP}$，即 $D_1N // MP$ 且 $D_1N = MP$。
所以四边形 $D_1MPN$ 为平行四边形，故 $D_1N // MP$。
又因为 $MP \subset$ 平面 $CB_1M$，$D_1N \not\subset$ 平面 $CB_1M$，
所以 $D_1N //$ 平面 $CB_1M$。

（2）**解：**
设平面 $CB_1M$ 的法向量为 $\vec{m} = (x,y,z)$。
相关向量：$\overrightarrow{CM} = (-1, 0, 1)$，$\overrightarrow{CB_1} = (1, -1, 2)$。
由 $\begin{cases} \vec{m} \cdot \overrightarrow{CM} = -x + z = 0 \\ \vec{m} \cdot \overrightarrow{CB_1} = x - y + 2z = 0 \end{cases}$，
令 $x=1$，则 $z=1, y=3$，得 $\vec{m} = (1, 3, 1)$。

设平面 $BB_1C_1C$ 的法向量为 $\vec{n}$。
该平面过点 $B(2,0,0), C(1,1,0), B_1(2,0,2)$。
$\overrightarrow{BC} = (-1, 1, 0)$，$\overrightarrow{BB_1} = (0, 0, 2)$。
由 $\begin{cases} \vec{n} \cdot \overrightarrow{BC} = -x + y = 0 \\ \vec{n} \cdot \overrightarrow{BB_1} = 2z = 0 \end{cases}$，
令 $x=1$，则 $y=1, z=0$，得 $\vec{n} = (1, 1, 0)$。

设两平面夹角为 $\theta$，则
$\cos \theta = \frac{|\vec{m} \cdot \vec{n}|}{|\vec{m}| |\vec{n}|} = \frac{|1\times1 + 3\times1 + 1\times0|}{\sqrt{1^2+3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{4}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{22}} = \frac{2\sqrt{22}}{11}$。
故平面 $CB_1M$ 与平面 $BB_1C_1C$ 的夹角余弦值为 $\frac{2\sqrt{22}}{11}$。

（3）**解：**
点 $B$ 到平面 $CB_1M$ 的距离 $d$ 为向量 $\overrightarrow{BC}$（或 $\overrightarrow{BM}$ 等）在法向量 $\vec{m}$ 上的投影长度。
取 $\overrightarrow{BC} = (-1, 1, 0)$，平面法向量 $\vec{m} = (1, 3, 1)$。
$d = \frac{|\overrightarrow{BC} \cdot \vec{m}|}{|\vec{m}|} = \frac{|-1\times1 + 1\times3 + 0\times1|}{\sqrt{11}} = \frac{2}{\sqrt{11}} = \frac{2\sqrt{11}}{11}$。