若曲线 y = ( x + a ) e ^ x 有两条过坐…——2022 高考数学第 15 题答案解析

【答案】 $( - \infty , - 4 ) \cup ( 0 , + \infty )$

【解析】

【分析】设出切点横坐标 $x _ { 0 }$ ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于 $x _ { 0 }$ 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.

【详解】 $\therefore y = ( x + a ) \mathbf { e } ^ { x } , \enspace \enspace \therefore y ^ { \prime } = ( x + 1 + a ) \mathbf { e } ^ { x }$

设切点为 $\left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ ,则 $y _ { 0 } = \left( x _ { 0 } + a \right) \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } }$ ,切线斜率 $k = \left( x _ { 0 } + 1 + a \right) \mathrm { e } ^ { x _ { 0 } }$

切线方程为： $y - \left( x _ { 0 } + a \right) \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } = \left( x _ { 0 } + 1 + a \right) \mathbf { e } ^ { x _ { 0 } } \left( x - x _ { 0 } \right)$

$\because$ 切线过原点， $\therefore - \left( x _ { 0 } + a \right) \mathrm { e } ^ { x _ { 0 } } = \left( x _ { 0 } + 1 + a \right) \mathrm { e } ^ { x _ { 0 } } \left( - x _ { 0 } \right)$

整理得： $x _ { 0 } ^ { 2 } + a x _ { 0 } - a = 0$

$\because$ 切线有两条， $\therefore \Leftrightarrow = a ^ { 2 } + 4 a > 0$ ,解得 $a < - 4$ 或 $a > 0$

$\therefore a$ 的取值范围是 $( - \infty , - 4 ) \cup ( 0 , + \infty )$

故答案为： $( - \infty , - 4 ) \cup ( 0 , + \infty )$