（5分）设函数 f(x)=e^ x (2 x-1)-a x…——2015 高考数学第 12 题答案解析

【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．
【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．
【分析】设 $g(x)=e^{x}(2 x-1), y=a x-a$ ，问题转化为存在唯一的整数 $x_{0}$ 使得 $g$ （ $x_{0}$ ）在直线 $y=a x-a$ 的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得 $-a>g$ （0）$=-1$ 且 $g(-1)=-3 e^{-1} \geq-a-a$ ，解关于 $a$ 的不等式组可得。

【解答】解：设 $g(x)=e^{x}(2 x-1), y=a x-a$ ，
由题意知存在唯一的整数 $\mathrm{x}_{0}$ 使得 $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}_{0}\right)$ 在直线 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}-\mathrm{a}$ 的下方，
$\because \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(2 \mathrm{x}-1)+2 \mathrm{e}^{\mathrm{x}}=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}(2 \mathrm{x}+1)$,
∴ 当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$g^{\prime}(x)<0$ ，当 $x>-\frac{1}{2}$ 时，$g^{\prime}(x)>0$ ，
∴ 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时，$g(x)$ 取最小值 $-2 e^{-\frac{1}{2}}$ ，
当 $x=0$ 时，$g(0)=-1$ ，当 $x=1$ 时，$g(1)=e>0$ ，
直线 $y=a x-a$ 恒过定点（ 1,0 ）且斜率为 $a$ ，
故 $-a>g(0)=-1$ 且 $g(-1)=-3 e^{-1} \geq-a-a$ ，解得 $\frac{3}{2 e} \leq a<1$
故选：D．

【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．