设双曲线 C 的方程为 x^ 2 a^ 2 - y^ 2…——2020 高考数学第 5 题答案解析

【解答】
设双曲线 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ ，过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点和点 $(0, b)$ 的直线为 $l$ ．若 $C$ 的一条渐近线与 $l$ 平行，另一条渐近线与 $l$ 垂直，则双曲线 $C$ 的方程为
A．$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$
B．$x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C．$\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
D．$x^{2}-y^{2}=1$

【答案】D

【解析】

【分析】
由抛物线的焦点 $(1,0)$ 可求得直线 $l$ 的方程为 $x+\frac{y}{b}=1$ ，即得直线的斜率为 $-b$ ，再根据双曲线的渐近线的方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，可得 $-b=-\frac{b}{a},-b \times \frac{b}{a}=-1$ 即可求出 $a, b$ ，得到双曲线的方程．

【详解】由题可知，拖物线的焦点为 $(1,0)$ ，所以直线 $l$ 的方程为 $x+\frac{y}{b}=1$ ，即直线的斜率为 $-b$ ，

又双曲线的渐近线的方程为 $y= \pm \frac{b}{a} x$ ，所以 $-b=-\frac{b}{a},-b \times \frac{b}{a}=-1$ ，因为 $a>0, b>0$ ，解得 $a=1, b=1$.

故选：$D$ ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题。