设 x>0, y>0, x+2 y=5，则 (x+1)(2…——2019 高考数学第 13 题答案解析

【解答】
设 $x>0, y>0, x+2 y=5$ ，则 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

【答案】 $4 \sqrt{3}$
【解析】
【分析】
把分子展开化为 $2 x y+6$ ，再利用基本不等式求最值。
【详解】 $\frac{(x+1)(2 y+1)}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+x+2 y+1}{\sqrt{x y}}=\frac{2 x y+6}{\sqrt{x y}} \geq \frac{2 \sqrt{2 x y \cdot 6}}{\sqrt{x y}}=4 \sqrt{3}$ ，

等号当且仅当 $x y=3$ ，即 $x=3, y=1$ 时成立。

故所求的最小值为 $4 \sqrt{3}$ 。
【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。