2020_江苏卷
14.在平面直角坐标系 $x O y \#$ 1，已知 $P ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 ) , A$ ，B是圆C: $x ^ { 2 } + ( y - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = 3 6$ 上的两个动点，满足$P A = P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是
14.在平面直角坐标系xOy中，已知 $P ( \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , 0 )$ ，A，B是圆C: $x ^ { 2 } + ( y - \frac { 1 } { 2 } ) ^ { 2 } = 3 6$ 上的两个动点，满足$P A = P B$ ，则 $\triangle P A B$ 面积的最大值是
$1 0 { \sqrt { 5 } }$
【答案】 $1 0 { \sqrt { 5 } }$
【解析】
【分析】
根据条件得 $P C \bot A B$ ,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积，最后利用导数求最大值.
【详解】 $\mathsf { Q } P A = P B \therefore P C \bot A B$
设圆心C到直线AB距离为d，则 $| A B | { = } 2 \sqrt { 3 6 - d ^ { 2 } } , | P C | = \sqrt { \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } } = 1$
所以 $S _ { \sqrt { P d B } } \leq \frac { 1 } { 2 } \cdot 2 \sqrt { 3 6 - d ^ { 2 } } ( d + 1 ) = \sqrt { ( 3 6 - d ^ { 2 } ) ( d + 1 ) ^ { 2 } }$
$y = ( 3 6 - d ^ { 2 } ) ( d + 1 ) ^ { 2 } ( 0 \leq d < 6 ) \cdot y ^ { \prime } = 2 ( d + 1 ) ( - 2 d ^ { 2 } - d + 3 6 ) = 0 \cdot : d = 4$ (负值舍去)
当 $0 \leq d < 4$ 时， $y ^ { \prime } > 0$ ；当 $4 \leq d < 6$ 时， $y ^ { ' } \leq 0$ ，因此当 $d = 4$ 时，y取最大值，即 $S _ { _ { \Delta P A B } }$ 取最大值为$1 0 { \sqrt { 5 } }$
故答案为： $1 0 { \sqrt { 5 } }$
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题
只讲你不懂的那一步，不用把整道题重讲一遍。答案和完整解析就在上面，不用聊天也能看。
可以再试一道相同方法、不同题面的题，确认是否真正掌握。
用 3 道相关题确认基础和中等变式会到哪一步。