（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x ) = t…——2011 高考数学第 15 题答案解析

【解答】
本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.满分13分.

（I）解：由 $2 x + { \frac { \pi } { 4 } } \neq { \frac { \pi } { 2 } } + k \pi , k \in Z$

得 $x \neq \frac { \pi } { 8 } + \frac { k \pi } { 2 } , k \in Z$

所以 f x( )的定义域为 $\{ x \in R \mid x \neq { \frac { \pi } { 8 } } + { \frac { k \pi } { 2 } } , k \in Z \}$

f x( )的最小正周期为 $\frac { \pi } { 2 }$ .

（II）解：由 $f ( \frac { a } { 2 } ) = 2 \cos 2 a$

得 $\tan ( a + { \frac { \pi } { 4 } } ) = 2 \cos 2 a .$

$$ { \frac { \sin ( a + { \frac { \pi } { 4 } } ) } { \cos ( a + { \frac { \pi } { 4 } } ) } } = 2 ( \cos ^ { 2 } a - \sin ^ { 2 } a ) , $$

整理得 ${ \frac { \sin a + \cos a } { \cos a - \sin a } } = 2 ( \cos a + \sin a ) ( \cos a - \sin a ) .$

因为 $a \in ( 0 , \frac { \pi } { 4 } )$ ，所以 $\sin a + \cos a \neq 0$

因此 $( \cos a - \sin a ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } }$ ,即 $\sin 2 a = \frac { 1 } { 2 }$

由 $a \in ( 0 , \frac { \pi } { 4 } )$ ，得 $2 a \in ( 0 , \frac { \pi } { 2 } )$

所以 $2 a = \frac { \pi } { 6 }$ ,即 $a = \frac { \pi } { 1 2 }$