某工作的三视图如图 3 所示，现将该工作通过切削，加工成一…——2015 高考数学第 10 题答案解析

【答案】A

【解析】由题可得，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有 $\frac { x } { 1 } = \frac { 2 - h } { 2 } \therefore h = 2 - 2 x .$ 所以长方体体积为 $x ^ { 2 } \hbar = \left( 2 x \right) ^ { 2 } \left( 2 - 2 x \right) = 4 x \cdot x \cdot \left( 2 - 2 x \right) \leq 4 { \left( \frac { x + x + 2 - 2 x } { 3 } \right) } ^ { 2 } = { \frac { 3 2 } { 2 7 } }$，当且仅当$x = 2 - 2 x$ 即 $x = \frac { 2 } { 3 }$ 时，等号成立，故利用率为 $\frac { \frac { 3 2 } { 2 7 } } { \frac { 1 } { 3 } \cdot \pi \cdot 1 ^ { 2 } \cdot 2 } = \frac { 1 6 } { 9 \pi }$，故选A.

【考点定位】三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体

【名师点睛】运用基本不等式求最值要紧紧抓住“一正二定三相等”条件，本题“和为定”是解决问题的关键.空间想象能力是解决三视图的关键，可从长方体三个侧面进行想象几何体.求组合体的体积，关键是确定组合体的组成形式及各部分几何体的特征，再结合分割法、补体法、转化法等方法求体积.