已知椭圆 C : x ^ 2 2 5 + y ^ 2 m…——2020 高考数学第 21 题答案解析

【答案】① $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { 1 6 y ^ { 2 } } { 2 5 } = 1$ ；② $\frac { 5 } { 2 }$

【解析】

【分析】

（1）因为 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 1 ( 0 < m < 5 )$ ，可得 $a = 5 ~ , ~ b = m$ ，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；

（2）点P在C上，点Q在直线 $x = 6$ 上，且 $\mid B P \mid = \mid B Q \mid$ $B P \perp B Q$ ，过点_P作x轴垂线，交点为M ，设 $x = 6$ 与x轴交点为N，可得 $\triangle P M B \cong \triangle B N Q$ ，可求得P点坐标，求出直线 $A Q$ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得 $\triangle A P Q$ 的面积.

【详解】① $\because C : \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 1 ( 0 < m < 5 )$

$$ \therefore a = 5 , b = m $$

根据离心率 $e = { \frac { c } { a } } = { \sqrt { 1 - \left( { \frac { b } { a } } \right) ^ { 2 } } } = { \sqrt { 1 - \left( { \frac { m } { 5 } } \right) ^ { 2 } } } = { \frac { \sqrt { 1 5 } } { 4 } }$

解得 $m = \frac { 5 } { 4 }$ 或 $m = - \frac { 5 } { 4 }$ (舍)，

\C的方程为： $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { y ^ { 2 } } { \left( \frac { 5 } { 4 } \right) ^ { 2 } } = 1$

即 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { 1 6 y ^ { 2 } } { 2 5 } = 1$

> ②Q点 P 在C 上，点Q在直线 x = 6 上，且| | |BP = $B Q \vert$ $B P \perp B Q$

过点P作x 轴垂线，交点为M ，设x = 6与x轴交点为N

根据题意画出图形，如图

Q | | | | BP BQ= ， BP BQ^ ，Ð = Ð = °PMB QNB 90 ，

又 $\because \angle P B M + \angle Q B N = 9 0 ^ { \circ } , \angle B Q N + \angle Q B N = 9 0 ^ { \circ }$

$\therefore \angle P B M = \angle B Q N$

根据三角形全等条件“ $A A S ^ { \prime \prime }$

可得： $\triangle P M B \cong \triangle B N Q$

$$ \because \frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { 1 6 y ^ { 2 } } { 2 5 } = 1 $$

$$ \therefore B ( 5 , 0 ) $$

\ PM BN= = - =6 5 1，

设 P点为 $( x _ { P } , y _ { P } )$

可得P点纵坐标为 $y _ { P } = 1$ ，将其代入 $\frac { x ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { 1 6 y ^ { 2 } } { 2 5 } = 1$

可得： $\frac { { x _ { P } } ^ { 2 } } { 2 5 } + \frac { 1 6 } { 2 5 } = 1$

解得： $x _ { P } = 3$ 或 $x _ { P } = - 3$

$\therefore P$ 点为 (3,1) 或 ( 3,1)- ，

①当 P 点为(3,1) 时，

故 $\left| M B \right| = 5 - 3 = 2$

$$ \because \triangle P M B \cong \triangle B N Q $$

\ | | | | 2MB NQ= = ，

可得：Q点为(6, 2)，

画出图象，如图

Q A( 5, 0)- , Q(6, 2) ，

可求得直线AQ的直线方程为： $2 x - 1 1 y + 1 0 = 0$

根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： $d = { \frac { \left| 2 \times 3 - 1 1 \times 1 + 1 0 \right| } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + 1 1 ^ { 2 } } } } = { \frac { \left| 5 \right| } { \sqrt { 1 2 5 } } } = { \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } }$ 根据两点间距离公式可得： $\left| A Q \right| = \sqrt { \left( 6 + 5 \right) ^ { 2 } + \left( 2 - 0 \right) ^ { 2 } } = 5 \sqrt { 5 }$

$\therefore \triangle A P Q$ 面积为： $\frac { 1 } { 2 } \times 5 \sqrt { 5 } \times \frac { \sqrt { 5 } } { 5 } = \frac { 5 } { 2 }$

②当 P 点为( 3,1)- 时，

故 $\vert M B \vert = 5 + 3 = 8$

$$ \because \triangle P M B \cong \triangle B N Q , $$

$$ \therefore | M B | { = } | N Q | { = } 8 , $$

可得：Q点为(6,8)，

画出图象，如图

$$ \because A ( - 5 , 0 ) \ Q ( 6 , 8 ) , $$

可求得直线AQ的直线方程为： $8 x - 1 1 y + 4 0 = 0$

根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为：

$$ d = \frac { \left| 8 \times ( - 3 ) - 1 1 \times 1 + 4 0 \right| } { \sqrt { 8 ^ { 2 } + 1 1 ^ { 2 } } } = \frac { \left| 5 \right| } { \sqrt { 1 8 5 } } = \frac { 5 } { \sqrt { 1 8 5 } } , $$

根据两点间距离公式可得： $\left| A Q \right| = \sqrt { \left( 6 + 5 \right) ^ { 2 } + \left( 8 - 0 \right) ^ { 2 } } = \sqrt { 1 8 5 }$ ，

$\therefore \triangle A P Q$ 面积为： $\frac { 1 } { 2 } \times \sqrt { 1 8 5 } \times \frac { 5 } { \sqrt { 1 8 5 } } = \frac { 5 } { 2 }$

综上所述， $\triangle A P Q$ 面积为： $\frac { 5 } { 2 }$

【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.