VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ( s…——2019 高考数学第 17 题答案解析

【答案】① $A = \frac { \pi } { 3 }$ ； ② $\sin C = { \frac { { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } } { 4 } }$

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得： $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b c$ ，从而可整理出cos A，根据 $A \in \left( 0 , \pi \right)$ 可求得结果；（2）利用正弦定理可得 ${ \sqrt { 2 } } \sin A + \sin B = 2 \sin C$ ，利用$\sin B = \sin \left( A + C \right)$ 、两角和差正弦公式可得关于sinC和cosC的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.

【详解】① $\left( \sin B - \sin C \right) ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } B - 2 \sin B \sin C + \sin ^ { 2 } C = \sin ^ { 2 } A - \sin B \sin C$

即： $\sin ^ { 2 } B + \sin ^ { 2 } C - \sin ^ { 2 } A = \sin B \sin C$

由正弦定理可得： $b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } = b c$

$$ \therefore \cos A = { \frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { 2 b c } } = { \frac { 1 } { 2 } } $$

$$ \because A \in \left( 0 , \pi \right) \quad \backslash A = { \frac { \pi } { 3 } } $$

> ② $\because { \sqrt { 2 } } a + b = 2 c$ ，由正弦定理得： ${ \sqrt { 2 } } \sin A + \sin B = 2 \sin C$

$\sin B = \sin \left( A + C \right) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ $A = \frac { \pi } { 3 }$

$$ \therefore { \sqrt { 2 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \cos C + { \frac { 1 } { 2 } } \sin C = 2 \sin C $$

整理可得： $3 \sin C - { \sqrt { 6 } } = { \sqrt { 3 } } \cos C$

$$ \because \sin ^ { 2 } C + \cos ^ { 2 } C = 1 \quad \therefore \Big ( 3 \sin C - \sqrt { 6 } \Big ) ^ { 2 } = 3 \Big ( 1 - \sin ^ { 2 } C \Big ) $$

解得： $\sin C = { \frac { { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } } { 4 } } \cdot { \frac { { \sqrt { 6 } } - { \sqrt { 2 } } } { 4 } }$

因为 $\sin B = 2 \sin C - { \sqrt { 2 } } \sin A = 2 \sin C - { \frac { \sqrt { 6 } } { 2 } } > 0$ 所以 $\sin C > { \frac { \sqrt { 6 } } { 4 } }$ ，故 $\sin C = { \frac { { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } } { 4 } }$

(2) 法二 $: \because \sqrt { 2 } a + b = 2 c$ ，由正弦定理得： ${ \sqrt { 2 } } \sin A + \sin B = 2 \sin C$

又 sin B = sin ( A + C) = sin A cos C + cos A sin C , $A = \frac { \pi } { 3 }$

$$ \therefore { \sqrt { 2 } } \times { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } + { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \cos C + { \frac { 1 } { 2 } } \sin C = 2 \sin C $$

整理可得： $3 \sin C - { \sqrt { 6 } } = { \sqrt { 3 } } \cos C$ ，即 $3 \sin C - { \sqrt { 3 } } \cos C = 2 { \sqrt { 3 } } \sin \left( C - { \frac { \pi } { 6 } } \right) = { \sqrt { 6 } }$

$\therefore \sin ( C - { \frac { \pi } { 6 } } ) = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } }$ ∴ $C = \frac { 5 \pi } { 1 2 }$ 或 $\frac { 1 1 \pi } { 1 2 }$

$\because A = \frac { \pi } { 3 }$ 且 $A + C < \pi$ ∴ $C = \frac { 5 \pi } { 1 2 }$

$$ \therefore \sin C = \sin { \frac { 5 \pi } { 1 2 } } = \sin \left( { \frac { \pi } { 6 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \right) = \sin { \frac { \pi } { 6 } } \cos { \frac { \pi } { 4 } } + \cos { \frac { \pi } { 6 } } \sin { \frac { \pi } { 4 } } = { \frac { { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 2 } } } { 4 } } $$

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.